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Niveau école ingénieur
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calcul d'une intégrale par la méthode des résidus

Posté par
orang
22-12-10 à 15:20

salut
j'ai un problème avec le calcul de lintegrale de -infini jusqu'à  +infini de Exp[ax]/(1+Exp[x]) pour 0<a<1 j'ai l'habitude de faire cette opération sur un contour circulaire mais dans ce cas il faut passer par un rectangle .
j'ai fait des recherches mais je n'ai rien trouvé, s'il vous plait si vous avez au moins une idée
merci  

Posté par
Arkhnor
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 15:55

Bonjour.

Il faut effectivement utiliser un contour en forme de rectangle.

Je te propose d'intégrer la fonction 3$ f(z) = \frac{e^{az}}{1+e^z} le long du contour qui délimite le rectangle de sommets -R, +R, +R + 2i \pi et -R + 2i\pi.

Posté par
Arslane
Salut 22-12-10 à 15:56

C'est relativement le même principe.
Le rectangle choisi sera de longueur 2R centré en 0 (ce sera le chemin paramétré R).
Tu calcule l'intégrale sur R par la methode des residus ensuite tu divise ton integrale en 2parties:
la 1er de -R vers R et la seconde entre 0 et (utilise le chemin R).
La fonction entre -R et R sera ta fonction d'origine.
Te reste plus qu'a faire tendre R vers l'infini et calculer ton integrale sur .

j'espère que c'est bon

Posté par
orang
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 17:00

d'accord merci  mais je n'arrive pas à distinguer à quel type elle appartient alors  comment intégrer cette dernière (avec z)?

Posté par
Arslane
Salut 22-12-10 à 17:08

Comment ça quelle type??
La fonction est sur .
La methode des residus consiste a envoyer ta fonction sur pour pouvoir la resoudre sur .
Le rectangle que tu utiliseras et sur ²() avec l'axe des abssisses qui represente .

Posté par
orang
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 17:19

dans mon cours les intégrales à calculer par résidus sont de 5 formes, une d'elle avec les bornes infinies sont f(x)Exp(ix) tel que f holomorphe sur sur y>=0  , je pense c'est la bonne?

Posté par
Arkhnor
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 17:32

Pas vraiment ...

On n'est pas en présence d'une forme "canonique" d'intégrale, donc je pense pas que celle-ci figure dans ton cours.

On te propose juste d'appliquer le théorème des résidus à la fonction et au contour que je t'ai proposé dans mon message de 15:55.

Posté par
Arslane
Salut 22-12-10 à 17:44

Dans ton cour, les formes dont tu fais allusion sont je pense les lemmes de Jordan. Mais dans cet exemple, tu n'a pas besoin de les utiliser.
Il te suffit d'appliquer le th des résidus sur un chemin rectangulaire en utilisant la fonction que ta proposé Arkhnor sur

Posté par
orang
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 17:57

oui exactement,  je vais essayer avec le théorème tout cours

Posté par
orang
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 20:12

j'ai utilisé cette formule donnée comme étant le théorème des résidus , le problème persiste parcequ'en l'employant je me trouve obligé de faire un calcul énorme et ça revien a integrer la fonction normalement terrible!

calcul d\'une intégrale par la méthode des résidus

Posté par
Arkhnor
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 20:15

Ici, l'expression des \gamma est très simple, ce sont des segments de droite ...

Posté par
orang
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 20:25

oui mé c'est la fonction elle meme qui pose problème ..

Posté par
orang
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 20:45

et je ne sais plus quoi faire
j'ai pri la parti réele de ceci bien évidemment

calcul d\'une intégrale par la méthode des résidus

Posté par
Arkhnor
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 22:06

Dans le contour que je t'ai proposé, il y a 4 segments.
Il faut les regarder un par un.

Il n'y a aucun calcul explicite d'intégrale à faire.

Les intégrales sur les deux segments horizontaux vont contribuer à l'intégrale que l'on cherche à calculer, et les intégrales sur les deux segments verticaux tendent vers 0 lorsque R tend vers l'infini. (à démontrer à l'aide de majorations élémentaires sur les intégrales)

Posté par
Arkhnor
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-12-10 à 22:06

Au passage, la formule que tu donnes est fausse, mais ça vient probablement du fait que tu n'as pas remarqué que l'intégrale sur le segment horizontal du haut contribue à la valeur de l'intégrale !

Posté par
nabiha
re : calcul d'une intégrale par la méthode des résidus 22-09-16 à 02:12

bonjour
svp concernant l integration sur le rectangle j ai pas saisis le passage qu on fait pour  majorer les intégrales sur les deux segments verticaux pour montrer qu elles tendent vers 0 lorsque R tend vers l'infini.
merci d avance



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