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Niveau Maths sup
Calcul de cos(pi/7)
Posté par lexours
Bonjour. Je bloque sur une question de mon DM de mathématiques ; je vous copie l'essentiel de l'énoncé :
1) Déterminer l'ensemble des racines septièmes de l'unité.
Je trouve U = {1, exp(2i
/7), ..., exp(12i/7)}
2) On pose 
=exp(2i/7) :
a) Calculer 1 + + 2 + ... + 6
Je trouve 0, car la somme des racines n-ièmes de l'unité est nulle.
Je passe directement à la d) En déduire que cos(2/7) est solution de l'équation 8x3+4x2-4x-1 = 0
Je l'ai démontré.
3) Soient X=+2+4 et Y=3+5+6.
a) Montrer que Y = conjugué(X) et Im(X)>0.
b) Calculer X+Y et XY. En déduire que X et Y sont les solutions d'une équation du second degré, puis calculer X et Y.
Je bloque à cette question 3)b) ! J'ai trouvé X+Y = -1 (car somme des racines 7e de l'unité sauf 1) et XY = 2 (en éliminant les qui deviennent nuls à l'aide de la propriété précédente). Comment déduire une équation du second degré à partir de ceci ?
Merci d'avance !
Bonjour,
X et Y sont solutions de l'équation (x-X)(x-Y)=0.
Et quand on développe (x-X)(x-Y), on obtient ....
En effet, cela paraît facile, maintenant que je le vois ! Je trouve donc mes solutions , mais comment en faire découler X et Y ?
Désolé de reposter sur ce topic, mais une autre question du même exercice me pose problème... Je pense avoir trouvé X = , mais une question me demande d'exprimer Re(X) en fonction de cos(2
/7)... Comment est-ce possible, sachant que je trouve Re(X) = -1/2 ?
Utilise la définition de X, à savoir .
En prenant la partie réelle, tu feras apparaître du cos(2pi/7), cos(4pi/7), cos(8pi/7) à transformer de façon à tout exprimer en fonction de cos(2pi/7).
Et une fois cela fait, tu devrais pouvoir trouver une expression de cos(2pi/7) sachant qu'en effet, cela fait -1/2.
Bonjour, désolé de reposter encore une nouvelle fois sur ce topic mais j'ai un problème, je n'arrive pas à déduire que cos(2/7) est la solution de l'équation 8x3+4x2-4x-1=0. J'ai exprimé cos(2x) et cos(3x) en fonction de cos(x) et je trouve respectivement 2cos2(x)-1 et 4cos3-3cos(x). Mais je ne sais pas comment passe de x à cos(x), je sais pas si vous comprenez ?
Merci d'avance pour votre aide.