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Calcul de séries entières

Posté par
Darkingami 16-04-18 à 15:07

Bonjour,
Je dois calculer la somme : \sum_{n=0}^{\infty }{\frac{x^{4n}}{(4n)!}}
Son rayon de convergence est l'infini.
Selon moi, avec un changement de variable on trouve cos(x).
Seulement la correction donne : \frac{1}{2}(cos(x)+ch(x))

Je peux comprendre que mon changement de variable est faux, mais je ne vois pas du tout comment obtenir ce résultat.
Merci d'avance et bonne journée.

Posté par
jsvdbre : Calcul de séries entières 16-04-18 à 15:35

Bonjour Darkingami.
On sait que seules les séries \cos et \cosh font apparaître des puissances paires et le terme général de la première est alterné par rapport au terme général de la seconde :

\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty }{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}}

\cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty }{\frac{x^{2n}}{(2n)!}}

donc en sommant, il ne reste plus que les termes en puissance 4, et en divisant par 2, on obtient le résultat.

Posté par
jsvdbre : Calcul de séries entières 16-04-18 à 15:39

Je fête mon 2000ème topic participé ... j'espère qu'il n'y aura pas de bug

Posté par
lionel52re : Calcul de séries entières 16-04-18 à 15:40

Hello  !
Tu peux remarquer en dérivant 4 fois que f^{(4)}(x) = f(x)
Il existe donc 4 constantes A, B, C, D telles que

f(x) = Ae^{ix} + Be^{-ix} + Ce^{x} + De^{-x}

f est paire ça donne A = B et C = D

f(x) = Acos(x) + Cch(x)

f(0) = 1 donne A+C  = 1

f'(x) \sim \frac{1}{6}x^3 \\ en 0

Et -Asin(x) + Csh(x) = (C-A)x + o(x) d'où A = C \\

Et voilà

Posté par
Darkingamire : Calcul de séries entières 16-04-18 à 15:50

Merci ! Vous etes des genies ! Et bravo pour ta 2000eme participation jsvdb. Ce forum est un super outil pour aider les eleves de tout niveau


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