Niveau Licence Maths 1e ann

Calcul du résidu avec un développement asymptotique

Posté par
SkyMtn 08-08-17 à 16:38

Bonjour ! J'ai pris l'habitude de calculer des résidus au moyen de "développements asymptotiques" ... mais je ne sais pas si on a vraiment le droit de faire ça :/

Je trouve que dans certains cas, utiliser la formule $\mathrm{Res}(f,a) = \lim\limits_{z\to a} \frac{1}{(p-1)!}\partial^{p-1}_z (z-a)^pf(z)$ pour un pôle d'ordre $p$ ça devient vite pénible

Voilà comment le vois les choses :
Supposons $f : \Omega \to \C$ holomorphe dans $\Omega$ ouvert, sauf en un point $a$ .
Il est alors possible de développer la fonction en série de Laurent sur un disque épointé en $a$ .
Dans ce disque épointé, on peut représenter la fonction par sa série de Laurent :
$f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{-n}}{(z-a)^n} + \sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$
Comme la partie régulière est analytique, il doit être possible d'écrire au voisinage de la singularité : $f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{-n}}{(z-a)^n} + a_0 + o(1)$ , mais comme par hypothèse, le pôle est d'ordre $p$ , il vient que $f(z) = \frac{a_{-p}}{(z-a)^p}+\cdots + \frac{a_{-1}}{z-a}+a_0 + o(1)$ et il reste à piocher le coefficient $a_{-1}$ pour avoir le résidu.

Personnellement... je trouve ça assez simple (en pratique) car on n'a pas à dériver successivement, mais simplement connaître les principaux développements limités :/
Est-ce correct comme façon de faire, ou au contraire... est-ce complètement faux ?

Posté par re : Calcul du résidu avec un développement asymptotique 08-08-17 à 16:50

Bonjour

Le développement de Laurent au voisinage d'un pôle d'ordre $p$ est de la orme

$\dfrac{a_{-p}}{(z-a)^p}+...+\dfrac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1z+...+a_mz^{m}+...$

et n'importe quelle méthode qui trouve la valeur de $a_{-1}$ convient.
Ca marche même pour les points isolés essentiels!

Posté par re : Calcul du résidu avec un développement asymptotique 08-08-17 à 17:02

Si on suppose que la singularité n'est pas essentielle, alors $(z-a)^pf(z)$ est analytique, donc les coefficients de son développement limité à l'ordre p sont uniques, on divise le tout par $(z-a)^p$ , ce qui assure que le coefficient devant le terme en $\frac{1}{z-a}$ correspond bien au résidu ?

Posté par re : Calcul du résidu avec un développement asymptotique 09-08-17 à 11:03

Salut,

oui c'est exactement ça sauf que le DL est une façon de calculer la limite alors en fait tu calcul tout de même la limite donc tu ne fais pas quelque chose de "différent" tu fais juste quelque chose qui peut se faire, et qui est très courant.

Approximer les fonctions par un DL au voisinage d'un point est la base car cela rend le calcul de la limite ultra rapide.

C'est comme si tu me disais: "Je n'utilise pas la formule, je la transforme en une autre formule puis je trouve le résultat"
Au final l'expression que tu as écrit à la fin de ton premier message, c'est juste un moyen d'écrire f pour un certain voisinage et que fais-tu ensuite?
Tu passe à la limite, exactement comme le dit la formule. (ce qui annule tout les coefficient inférieur à p)

Donc TU L'UTILISES inconsciemment...

Pas de confusion!

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