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Niveau énigmes
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Calcul exact avec la partie entière

Posté par
Dattier
12-01-17 à 16:46

Bonjour,

niveau L1 :

Montrer que pour tout n \in \N^* :
S=1+E\big((\sqrt{2}+1)\big)+\cdots +E\big((\sqrt{2}+1)^n\big)=E\big(\frac{(\sqrt 2+1)^{n+1}-1}{\sqrt 2}\big)-E\big(\frac{n}{2}\big)

PS : cet énoncé, une énigme que je soumets à votre sagacité.

Bonne journée.

malou > ***forum modifié***choisir "détente"/"énigmes" lorsqu'il en est ainsi****

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul exact avec la partie entière 12-01-17 à 17:46

Bonjour,
Merci maloupour la réaction rapide
Merci Dattier d'animer
Tu vas sans doute être déplacé dans la rubrique "Détente".
L'intérêt de cette rubrique, c'est qu'on peut blanker les réponses pour laisser le plaisir à d'autres de chercher.

Posté par
Dattier
re : Calcul exact avec la partie entière 13-01-17 à 21:52

Bonsoir,

la solution :

 Cliquez pour afficher


Bonne soirée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul exact avec la partie entière 18-01-17 à 17:36

Bonjour,
Pas vraiment détaillée "la solution"
Une évidence m'aurait échappée ?

 Cliquez pour afficher

Posté par
carpediem
re : Calcul exact avec la partie entière 18-01-17 à 17:47
Posté par
Dattier
re : Calcul exact avec la partie entière 18-01-17 à 19:20

Bonsoir,

la solution plus détaillée :

 Cliquez pour afficher


Bonne soirée.

Posté par
carpediem
re : Calcul exact avec la partie entière 18-01-17 à 19:55

l'indication est une évidence ...

et il est évident qu'il faudra s'en servir ...

quant à ta solution prouve le passage à la première égalité :

Citation :
S=\sum \limits_{k=0}^n E((1+\sqrt 2)^n)


S=1+\sum \limits_{k=1}^n (1+\sqrt 2)^k+(1-\sqrt 2)^k+\frac{(-1)^{k+1}-1}{2}

Posté par
Dattier
re : Calcul exact avec la partie entière 18-01-17 à 20:19

Soit k \in \N^*

On a (1+\sqrt{2})^k+(1-\sqrt{2})^k est un entier et |1-\sqrt{2}|<1

Avec (1-\sqrt{2})<0

Donc E((1+\sqrt{2})^k)=(1+\sqrt{2})^k+(1-\sqrt{2})^k-1 si k \mod 2 =0

Et E((1+\sqrt{2})^k)=(1+\sqrt{2})^k+(1-\sqrt{2})^k sinon.

Si tu veux plus de détaille n'hésite pas à me dire le point que tu n'as pas compris pour que je développe.

Posté par
carpediem
re : Calcul exact avec la partie entière 18-01-17 à 20:55

on a ...
avec ...

des évidences !!!


donc ...
et ...

sont des affirmations gratuites ...

j'attends la preuve ...

Posté par
Dattier
re : Calcul exact avec la partie entière 18-01-17 à 21:06

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas...

De 2 choses l'une :


-soit, tu veux tester mon niveau en math, et alors je te laisse à tes jugements (que tu as déjà pal mal exprimer)


-soit, tu n'as pas compris quelques choses dans mon explication et alors dit moi exactement quoi, s'il y aurait plusieurs points, commence par le premier, puis on verrait les autres après, un par un.


A toi de voir.

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