Niveau Master

calcul intégral

Posté par
siwar123 07-03-17 à 19:46

Bonsoir,

J'ai une question qui m'embête:

Si $f$ est une fonction holomorphe sur le disque unité ouvert $\mathbb{D}(0,1)$ , continue sur le disque unité fermé $\mathbb{\bar D}(0,1)$ qui vérifie
$f(z)\neq 0$ pour tout $z\in\mathbb{\bar D}(0,1)$ et
$|f(e^{it})|\le A\;\; \text{si}\;\; 0\le t\le \pi$
et $|f(e^{it})|\le B\;\; \text{si}\;\; \pi\le t\le 2\pi$

alors $|f(x)|\le \sqrt{AB}$ pour tout $-1<x<1$ .
Indication: utiliser la formule de poisson pour une fonction harmonique appropriée et montrer que:
$\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}\frac{(1-x^2)dt}{1-2|x|cos\;t+x^2}=\frac{1}{2}$
Merci bien de m'aider.

Posté par re : calcul intégral 08-03-17 à 12:24

As tu essayé de proceder ainsi?

$f(z)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(e^{i\theta})\frac{1-|z|^2}{|e^{i\theta}-z|^2}d\theta=\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}f(e^{i\theta})\frac{1-|z|^2}{|e^{i\theta}-z|^2}d\theta+\dfrac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{2\pi}f(e^{i\theta})\frac{1-|z|^2}{|e^{i\theta}-z|^2}d\theta$

Changement de variable pour la deuxième intégrale $\theta =\theta '+\pi$

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