Bonjour chers tous. J'ose croire que vous vous portez à merveille.

J'ai rencontré au cours de la résolution de cet exercice.
C'est  s'il vous plaît

Exercice

1- Montrer que la fonction
X(x, y)= x³-3xy²  est harmonique

2- Calculer le résidu de f(z) pour
z = a de deux manières differentes :

E = (zeʸ)/(z-a)³


3- Calculer par la méthode des résidus les integrales suivantes :

I= ∫₀²ᴾᴵ [1/(4+cosθ)]dθ

J= ∫_⁺[ (e^ix)dx/(1+x²)]dx

4- Calculer les intégrales :

N = ∫₀⁺ [ xᵐ exp(-xⁿ)] dx
(m>-1;n > 0)

M = ∫₀⁺[ exp(2ax - x²)] dx

A = ∫₀½ᵖⁱ [(tanθⁿ ]dθ  pour |n| < 1.

B = ∫₀¹[[In(1/x)]^(a-1)]dx ; (a > 0)


Proposition de reponse

1-    dX = 3(x-y²)dx - 6xydy
je me dis que la fonction est differentielle donc harmonique
( En effet il s'agit d'une fonction a deux variable et je ne sais comment qu'elle est differentiable)

2-
premiere maniere

posons z= z'+a

On a f(z) = (z'+a)eʸ/z'³
=> f(z) = z'e/z'³ + ae/z'³
=> f(z) = 0/(z-a) + e/(z-a)² + ae/(z-a)³
Comme son développement en série de Laurin comporte une partie principale avec un nombre fini (2) de termes alors a est un pôle d'ordre 3 de f(z) et le résidu de f(z) relatif à a est 0

Deuxième manière

Soit C ce résidu
D'après la formule on a

C = [1/(n-1)! ] ×
lim(z->a)
( dⁿ-¹ [(z-a)ⁿf(z)]/dzⁿ-¹ avec n=3

C=(1/6) lim (z->a) d²(ze)/dz²
C=0

3-

À ce niveau en sachant que le théorème dit que l'intégrale est égale au produit de 2πi et de la somme des résidus, j'ai voulu trouver les résidus mais j'y arrive pas

-Soit par la formule utiliser plus haut ( mais je connais pas l'ordre du point singulier)

- Soit par la formule donnant la valeur des coéfficients

An = (1/2πi) |[f(z)/(z-a)]dz

À ce niveau,  j'arrive pas à développer la fonction en série de Laurin


4-

Ici, je ne sais pas comment procéder même quand j'ai éssayé de voir comment les transformés sous la forme de

x! = |(t^x)e^-t dt

Avec | = intégrale