Niveau Maths sup

Calcul produit nombres complexes

Posté par
Paltoh 07-08-22 à 19:44

Bonjour, je cherche à résoudre l'exercice suivant:
Soit $A\subset\mathbb{C}$ finie telle que $z\mapsto z^2$ induit une bijection de $A$ vers $A$ . Montrer que $\prod_{a\in A}(1+a) \in \{1,2\}$ .

J'ai déjà pu remarquer que $A\setminus \{0\}\subset\mathbb{U}$ , sans quoi $A$ serait infini, mais je n'ai pas trouvé comment exploité cette information.
Aussi, comme $z \mapsto z^2$ est bijective de $A$ vers $A$ , $z \mapsto z^4$ l'est également ce qui me permet d'effectuer le calcul suivant, en posant $B:=A\setminus \{1\}$ ,
$(\prod_{a \in B}{(1+a)})^2=\prod_{a \in B}{(1+a)(1+a^2)}=\prod_{a \in B}{(1+a+a^2+a^3)}=\prod_{a \in B}{\frac{1-a^4}{1-a}}=1$ .
Puisque le carré du produit recherché vaut $1$ , celui-ci vaut $-1$ ou $1$ (éventuellement, on obtiendra $2$ pour le produit sur $A$ si $1 \in A$ ).
Seulement je n'arrive pas à exclure le cas où le produit vaut $-1$ , j'ai tenté un calcul de l'argument et d'expliciter les possibilités pour l'ensemble $A$ mais sans succès, auriez-vous d'autres idées?

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par re : Calcul produit nombres complexes 07-08-22 à 19:46

Pardon, je me suis mal relu, $z \mapsto z^2$ et $z \mapsto z^4$ sont également bijectives de $B$ vers lui-même, c'est plutôt cela qui permet le calcul mené...

Posté par re : Calcul produit nombres complexes 07-08-22 à 20:45

Bonsoir,

Et si on reprend l'argument avec $(\prod_{a \in B} ( 1+a) )^3$ ?

Posté par re : Calcul produit nombres complexes 07-08-22 à 20:57

Autre fait amusant, si on note $Q = \prod_{a\in A} (1-a)$ alors $PQ = \prod_{a\in A} (1-a^2) = \prod_{a\in A} (1-a) = Q$ , donc $Q \times (P-1) = 0$ donc $P = 1$ ou $1\in A$ (car A est fini)

Posté par re : Calcul produit nombres complexes 07-08-22 à 21:53

@Zrun J'ai trouvé, merci!

@Ulmiere Merci également pour cette méthode bien plus rapide et élégante

Posté par re : Calcul produit nombres complexes 08-08-22 à 08:32

Bonjour,
Une toute petite remarque :
Pour transformer (1+a)(1+a²), on peut ne pas développer si a 1.
(1+a)(1+a²) = (1-a)(1+a)(1+a²)/(1-a) = (1-a²)(1+a²)/(1-a) = (1-a⁴)/(1-a).

On peut utiliser la même méthode pour (1+a)(1+a²)(1+a⁴)

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