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Calcul produit nombres complexes

Posté par
Paltoh 07-08-22 à 19:44

Bonjour, je cherche à résoudre l'exercice suivant:
Soit A\subset\mathbb{C} finie telle que z\mapsto z^2 induit une bijection de A vers A. Montrer que\prod_{a\in A}(1+a) \in \{1,2\}.

J'ai déjà pu remarquer que A\setminus \{0\}\subset\mathbb{U}, sans quoi A serait infini, mais je n'ai pas trouvé comment exploité cette information.
Aussi, comme z \mapsto z^2 est bijective de A vers A, z \mapsto z^4 l'est également ce qui me permet d'effectuer le calcul suivant, en posant B:=A\setminus \{1\},
(\prod_{a \in B}{(1+a)})^2=\prod_{a \in B}{(1+a)(1+a^2)}=\prod_{a \in B}{(1+a+a^2+a^3)}=\prod_{a \in B}{\frac{1-a^4}{1-a}}=1.
Puisque le carré du produit recherché vaut 1, celui-ci vaut -1 ou 1 (éventuellement, on obtiendra 2 pour le produit sur A si 1 \in A).
Seulement je n'arrive pas à exclure le cas où le produit vaut -1, j'ai tenté un calcul de l'argument et d'expliciter les possibilités pour l'ensemble A mais sans succès, auriez-vous d'autres idées?

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
Paltohre : Calcul produit nombres complexes 07-08-22 à 19:46

Pardon, je me suis mal relu, z \mapsto z^2 et z \mapsto z^4 sont également bijectives de B vers lui-même, c'est plutôt cela qui permet le calcul mené...

Posté par
Zrunre : Calcul produit nombres complexes 07-08-22 à 20:45

Bonsoir,

Et si on reprend l'argument avec (\prod_{a \in B} ( 1+a) )^3 ?

Posté par
Ulmierere : Calcul produit nombres complexes 07-08-22 à 20:57

Autre fait amusant, si on note Q = \prod_{a\in A} (1-a) alors PQ = \prod_{a\in A} (1-a^2) = \prod_{a\in A} (1-a) = Q, donc Q \times (P-1) = 0 donc P = 1 ou 1\in A (car A est fini)

Posté par
Paltohre : Calcul produit nombres complexes 07-08-22 à 21:53

@Zrun J'ai trouvé, merci!

@Ulmiere Merci également pour cette méthode bien plus rapide et élégante

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Calcul produit nombres complexes 08-08-22 à 08:32

Bonjour,
Une toute petite remarque :
Pour transformer (1+a)(1+a2), on peut ne pas développer si a 1.
(1+a)(1+a2) = (1-a)(1+a)(1+a2)/(1-a) = (1-a2)(1+a2)/(1-a) = (1-a4)/(1-a).

On peut utiliser la même méthode pour (1+a)(1+a2)(1+a4)


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