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Niveau Maths sup
Calcule argument et notation arg(z) et Arg(z)
Posté par azzeryxx
Bonjour,
Voici un petit problème qui concerne surtout les notations mais qui reste assez utile si on cherche à toujours être rigoureux.
J'aimerais savoir si ce qui suit est entièrement correcte (j'ai mis en rouge ceux sur quoi je doute principalement) :
- Premier problème sur l'argument d'un complexe :
Un nombre complexe z possède bien une infinité d'arguments tous modulo 2pi.
On note alors arg(z) = teta [2pi].
L'argument principale noté Arg(z) est compris dans intervalle ]-pi;pi].
On calcule soit par Arcsin(Img(z)/|z|) soit par Arccos(Re(z)/|z|) car (la démonstration viens de là) on remarque que (Img(z)/|z|)^2 + (Re(z)/|z|)^2 = 1.
Enfin on peut calculer l'argument comme suit : teta = Arctan(Img(z)/Re(z)) pour tout complexe tel que Re(z)=/=0.
Par ailleurs ici le site wikiversité me met un doute en disant: "{\displaystyle \theta \equiv \arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\mod \pi }". Ne serais-ce pas plutôt modulo 2pi comme tout arguments ?
- Deuxième problème liée au fonction trigonométrique utilisé :
Y a-t-il une différence entre Arctan : R -> ]-pi/2;pi/2[ et arctant l'application générale R -> ]a;b[ ou a = -pi/2 [2pi] et b = pi/2 [2pi] ?
Citation :
- Premier problème sur l'argument d'un complexe :
Un nombre complexe z possède bien une infinité d'arguments tous modulo 2pi.
On note alors arg(z) = teta [2pi].
L'argument principale noté Arg(z) est compris dans intervalle![]-\pi;\pi]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi? ]-\pi;\pi])
.
Correct- Premier problème sur l'argument d'un complexe :
Un nombre complexe z possède bien une infinité d'arguments tous modulo 2pi.
On note alors arg(z) = teta [2pi].
L'argument principale noté Arg(z) est compris dans intervalle
Citation :
On calcule soit par Arcsin(Img(z)/|z|) soit par Arccos(Re(z)/|z|) car (la démonstration viens de là) on remarque que (Img(z)/|z|)^2 + (Re(z)/|z|)^2 = 1.
Non, ce n'est pas suffisant, on doit calculer les deux pour savoir sur quel quadrant on se trouve.On calcule soit par Arcsin(Img(z)/|z|) soit par Arccos(Re(z)/|z|) car (la démonstration viens de là) on remarque que (Img(z)/|z|)^2 + (Re(z)/|z|)^2 = 1.
Premier problème :
L'intervalle de l'argument principal est le bon.
Ta deuxième remarque est encore bonne.
Ceci est encore une nouvelle fois vrai : non l'intervalle est le bon si tu eux obtenir l'argument principal... et de plus la fonction tangente n'est que -périodique
Deuxième problème :
Oui il y a une différence entre ces deux fonctions... leur intervalle de définition...
Par contre je ne connais pas la deuxième... cette "application générale"....
En effet, la fonction arctan connue par tout le monde est une bijection entre R et
Citation :
Enfin on peut calculer l'argument comme suit : teta = Arctan(Img(z)/Re(z)) pour tout complexe tel que Re(z)=/=0.
Par ailleurs ici le site wikiversité me met un doute en disant: "{\displaystyle \theta \equiv \arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\mod \pi }". Ne serais-ce pas plutôt modulo 2pi comme tout arguments ?
ils ont raison, Enfin on peut calculer l'argument comme suit : teta = Arctan(Img(z)/Re(z)) pour tout complexe tel que Re(z)=/=0.
Par ailleurs ici le site wikiversité me met un doute en disant: "{\displaystyle \theta \equiv \arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\mod \pi }". Ne serais-ce pas plutôt modulo 2pi comme tout arguments ?
Bonjour,
Lorsque j'étais étudiant (il y a longtemps..) on distinguait effectivement la fonction Arctan (A majuscule) R -> ]-pi/2;pi/2[ de la fonction multivoque arctan (a minuscule).
Il en allait de même pour Arcsin , Arccos, arcsin et arccos.
Je crois que c'est tombé en désuétude, les fonctions multivoques étant bannies...
Bonsoir !
Il me semble que pour éviter d'avoir à calculer sinus et cosinus (ou tangente et discuter selon le signe) on avait mis au programme des prépas la formule :
valable pour .
Le cas où est réel négatif étant réglé par convention !
Aurait-elle disparu ?
Merci à tous pour vos réponse assez rapide (contrairement à ma réponse).
Je suis rassurez en voyant que j'ai plutôt bien compris le sujet 
...
@luzak Peut-être la formule n'est elle plus au programme officiel mais je l'ai quand même vu. En revanche j'ai moins rencontré celle que vous m'avez donné !
J'aimerais finalement être sûre d'avoir bien compris l'histoir des arguments exprimé en fonction de arctan.
Dans la formule de @luzak je suppose que comme me le dit @Razes on aura : Arg(z) = 2Arctan(Img/(Re+|z|) [pi].
Enfin si l'on remplace arctan par sa valeur on remplace aussi le modulo pusi par un modulo 2pi ? : arg(z) = arctan(0) [pi] => arg(z) = 0 [2pi]
La formule proposée donne l'argument principal dans , il n'y a pas lieu d'ajouter
( et non pas
comme tu l'écris, ce qui est faux).