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caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification)

Posté par
robby3 18-06-08 à 11:07

Bonjour à tous, quelqu'un pourrait-il m'aider à démontrer le coté "heavy tailed" de la loi de paréto qui caractérise le fait que le systeme en question rajeunit:

il faut montrer que
\large \lim_{x\to +\infty} P(X>x+y|X>x)=1 ou y>0

je me suis dis que comme y>0
\large P(X>x+y|X>x)=\frac{P(\{X>x+y\}\cap\{X>x\})}{P(X>x)}=\frac{P(X>x+y)}{P(X>x)}

or \large P(X>x)=\(\frac{x}{b}\)^{-a}
donc \large P(X>x+y)=\(\frac{x+y}{b}\)^{-a}

d'ou \large P(X>x+y|X>x)=\(1+\frac{y}{x}\)^{-a}
d'ou le résultat...
est-ce correct?

Posté par
PILre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 12:05

Bonjour Robby,

C'est parfait pour moi !
Pour ton autre post sur Pareto, je suis encore embourbé dans mes calculs ...

Posté par
robby3re : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 12:08

Merci PIL!

Posté par
stokastikre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 21:19

Marrant le "heavy tailed". C'est ton prof qui a énoncé ça comme ça ? C'est vrai qu'il faut être un prof audacieux pour se lancer dans les lois "à queue lourde".

Posté par
robby3re : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 21:22

non c'est pas mon prof...je suis un peu curieux et je me suis intéressé à la loi de Pareto et sur Wikipedia, il y a cette notion, et je voulais regarder si je savais le montrer correctement.

Posté par
stokastikre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 21:32

Je suis allé voir. Wiki a carrément traduit par "longue queue", quelle audace.

Posté par
robby3re : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 21:46

il y a d'autre loi qui sont ainsi??
cad qui traduise le fait qu'un systeme rajeunit....

Posté par
stokastikre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 22:00






L'article de Wiki cite d'autres lois.

Tu as fait le lien avec la densité ? La "queue" c'est la "fin" de la densité et c'est une "longue queue" quand la densité s'écrase lentement vers 0 en l'infini.

Mais je ne sais pas si le caractère "longue queue" est toujours vraiment défini comme dans le cas de la loi de Pareto: \lim_{x\to +\infty} P(X>x+y|X>x)=1. Je ne sais pas si c'est vraiment la définiition, ou si on dit juste vulgairement que c'est une "longue queue" quand on a une prorpiété qui s'interprète comme une "convergence lente"...  

Posté par
robby3re : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 22:16

non effectivement j'ai pas trop fait le lien avec la densité...
interessant, ça semble etre une notion trés récente tout de meme!
et l'utilisation de ce truc est quand meme pas mal importante!
je m'avance peut-etre, connaissant mal de quoi je parle, mais il semblerait que la recherche dans le domaine des probabilités et statistiques semble avoir un long avenir devant lui...et des applications toujours plus nombreuses dans des domaines trés divers.

Posté par
stokastikre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 22:55

Citation :
je m'avance peut-etre, connaissant mal de quoi je parle, mais il semblerait que la recherche dans le domaine des probabilités et statistiques semble avoir un long avenir devant lui...et des applications toujours plus nombreuses dans des domaines trés divers.


Les axiomes de la théorie des probabilités (définition d'un espace probabilisé) ont vu le jour dans les années 1930. C'est donc une théorie récente dans le contexte général des mathématiques. Bon les probas existaient avant mais y'avait pas le cadre formel d'aujourd'hui. Celui-ci fut défini par Komogorov. De son côté, Fisher, né en 1890, est le père des statistiques, fondées sur la théorie des probabilités. La recherche en "probas-stats" n'est donc encore pas excessivement loin de son enfance quelque part...

Ne me demande pas de détails là-dessus, je n'ai pas la culture pour en dire plus.

En effet des applications diverses... par exemple ces dernières années, plein de bouquins de "calcul stochastique appliqué à la finance" ont parus. Un modèle "de base" pour la bourse, c'est le modèle de "Black-Scholes" . Ca repose sur des intégrales stochastiques, ce n'est quand même pas de la bagatelle en maths...

Les "probas-stats" sont utilisées en finance, économie, biologie.. physique bien sûr mais je connais carrément rien en physique. Sache qu'un médicament est mis sur le marché si son efficacité est "statistiquement prouvée"! Les stats sont utlisées en reconnaissance d'images, un tas de choses...

Il y a aussi un gros travail nécessaire pour pouvoir appliquer les résultats théoriques de stats... en "maths numériques" et en informatique... au cours du temps les capacités des ordinateurs grandissent, et cela élargit aussi les possibilités d'applications. Par exemple l'existence des algorithmes de Metropolis-Hastings , aujourd'hui fortement utilisés, remontent à 1953, mais en ce temps-là ils étaient inutilisables car les ordinateurs n'étaient pas assez puissants pour les mettre en oeuvre.

à+


Posté par
H_aldnoerre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 23:06

Bonsoir,

excuse moi d'avance de polluer robby, mais la perche m'étant tendue, je voulais savoir quelles sont tes connaissances dans ces modèles mathématiques appliqués à la finance stokastik ?

Posté par
stokastikre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 23:15

Aucune H_aldnoer. Je saurais même pas te définir le modèle de Black-Scholes. Pourquoi ?

Posté par
H_aldnoerre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 18-06-08 à 23:27

Je m'intéresse vivement aux mathématiques financières, j'aurai voulu avoir une petite idée du "niveau requis". Je commence la probabilité ce semestre et je me demande aussi si ce que je fais maintenant me sert pour la suite. Je ne sais absolument pas comment je vais évoluer, mais il est une question à laquelle je recherche une réponse plus ou moins absolue : comment appliquer les mathématiques aux problème d'économie/finance ?

Posté par
stokastikre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 19-06-08 à 07:33

J'en sais rien moi je connais que dalle aux finances/économie. Regarde le modèle de Black-Scholes si ça t'intéresse.

Posté par
H_aldnoerre : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 19-06-08 à 10:16

Merci quand même

Posté par
robby3re : caractere "Heavy tailed" de la loi de pareto(vérification) 19-06-08 à 11:01

Citation :
Ne me demande pas de détails là-dessus, je n'ai pas la culture pour en dire plus.

> enfin ça va quand meme, niveau culture maths...tu geres bien

Citation :
Kolmogorov
non?

sinon,c'est vrai que c'est assez surprenant que la proba-stats soit quelque chose de si récent...les applications étant trés nombreuses aujourd'hui, on aurait pu penser que leur étude se seraient développé en meme temps que d'autres domaines aujourd'hui trés avancé comme la géométrie algébrique par exemple...

y'a donc de l'avenir dans ce domaine...c'est toujours bon à savoir:D


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