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Caractérisation des intervalles de R
Ramanujan
Bonsoir,
J'ai des difficultés à comprendre certains éléments de la démonstration de cette proposition.
Les intervalles de sont les parties
de
vérifiant :
(*)
Démonstration :
Tout intervalle vérifie évidemment la propriété (*).
Déjà ici je ne comprends pas pourquoi 
Réciproquement, si est vide alors c'est par définition un intervalle.
Supposons non vide et définissons
et
de la manière suivante :
Montrons les résultats résumés dans un tableau (voir ci-dessous).
Par définition de et
, on obtient facilement que dans chaque cas, l'ensemble
est inclus dans l'intervalle indiqué.
C'est trivial pour en utilisant (*).
Mais par exemple, pour montrer que je ne vois pas. Et tous les autres non plus.
***image recadrée***
Pour ta première question, comment est défini le mot "intervalle" ?
Pour la deuxième prends un élément et prouve qu'il existe
tel que
et conclus.
Et là encore je me permets de t'embrouiller (du moins c'est ce que tu vas dire) en remplaçant ton énoncé par l'examen des cas :
est vide
est minoré et majoré : alors
est minoré et non majoré : alors
est non minoré et majoré : alors
est non minoré et non majoré : alors
Et à chaque fois tu as des conclusions
Démonstration :
Tout intervalle vérifie évidemment la propriété (*).
Déjà ici je ne comprends pas pourquoi
Si tu veux arrêter d'être une grosse bille Ramanujan pour reprendre les termes de l'autre sujet, bah il va falloir faire ce qu'on te dit depuis 2010, arrêter de voir les propositions mathématiques uniquement comme une suite de symboles, et mettre du français et du dessin derrière. La question que tu poses est évidente, sauf que tu ne l'as pas comprise
@Lionel, oui pour ma première question elle est débile, je viens de m'en rendre compte 
Je n'ai pas vu de définition rigoureuse des intervalles. .
J'ai dans le chapitre 0. Soit 2 réels tels que
etc...
Si je prends . Soit
Soit . Montrons que
donc
donc
Le résultat est démontré.
Si je prends . Soit
Soit . Montrons que
On a :
Or : alors
donc
Le résultat est démontré.
Pour la réciproque, je n'ai pas trop compris ce que vous avez fait et la différence avec le tableau du livre. En plus, il manque les intervalles fermés et semi fermés est-ce normal ?
Sinon, dans chaque cas, je dois montrer que les parenthèses représentant la borne ouverte ou fermée.
J'y réfléchis et j'essaie de le démontrer.
Pour montrer que les parenthèses représentant la borne ouverte ou fermée, je dois faire 9 cas ?
majoré et minoré avec
majoré et minoré avec
et
minoré et non majoré avec
etc... ?
Les intervalles fermés ou pas sont inutiles dans un premier temps.
Tu montres l'inclusion des intervalles ouverts dans (quatre cas : le tableau de ton livre te fait perdre du temps). L'inclusion inverse (que tu prétends vouloir démontrer) est évidente mais, apparemment, tu ignores les notions de bornes d'un ensemble.
Puis, pour chaque cas, tu as plusieurs réponses en considérant que les bornes sont ou non dans .
Exemple.
Cas où est majoré, non minoré.
Tu montres que puis tu conclus selon que
.
Je vois, mais je cherche déjà à comprendre pourquoi même si c'est évident pour vous.
Prenons le cas où : et
.
Soit . Alors
et
Donc donc
Prenons le cas où : et
.
Soit . Alors
. Comme
, on a forcément
donc
.
Prenons le cas où : et
.
Soit . Alors
. Donc
Etc... C'était simple en fait !
Pour la suite, mon livre ne traite pas tous les cas du tableau. Il ne traite que le cas :
en précisant qu'on aura alors :
,
,
ou
en fonction de l'appartenance de
et
à
.
Ce qui est évident c'est (et les inclusions analogues quand
n'existent pas.
Et cette inclusion, jointe à l'autre (qui reste à démontrer -car ton livre ne "traite " rien si c'est un vrai exercice - et je te conseille de ne pas jouer la paresse et de traiter TOUS les cas) (mutatis mutandi) suffisent pour conclure.
Bonsoir,
j'ai l'impression qu'il faut être un peu plus formel.
Je réécris la définition (*) :
I est un intervalle de R si et seulement si
À partir de ça il est immédiat que, a et b étant des réels tels que a
b :
est un intervalle.
est un intervalle.
Etc pour tous les intervalles bornés.
Et on fait la même chose pour les intervalles non bornés.
C'est très mécanique.
salut
je n'étais pas intervenu ... mais je m'interroge de plus en plus ...
Je n'ai pas vu de définition rigoureuse des intervalles. .
J'ai dans le chapitre 0. Soit
et fort probablement il doit être rajouté en dessous un truc du genre : on appelle intervalle ces ensembles ...
maintenant la seule définition rigoureuse d'un intervalle est celle donnée par la propriété (*) reformulée par verdurin ... et donc je ne vois pas ce qu'il y a à démontrer ...
puisqu'une définition ne se démontre pas elle s'apprend (et s'utilise)
je suis bien dubitatif et dans l'expectative
Bonjour !
Pour mémoire, ce qui suit :
Soit un ensemble ordonné et
tel que
.
On appelle intervalle fermé d'extrémité a et b l'ensemble noté et défini par :
.
On définit de même :
.
.
.
Bien entendu, pas question de mettre un à la place de la flèche.
etc etc.
Et on a
(Par exemple, on peut s'amuser à former des intervalles dans )
En général, les intervalles ne vérifient pas la propriété postée initialement. Cette dernière est due au fait que est totalement ordonné.
Salut jsvdb.
Le fil porte sur les intervalles de R muni de l'ordre usuel.
Je rajouterais que définir des intervalles dans un ensemble muni d'une relation d'ordre quelconque me semble difficile.
Si on prend Z muni de la relation d'ordre "=" on a
et je me demande comment définir
Bonsoir jsvdb !
En général, les intervalles ne vérifient pas la propriété postée initialement. Cette dernière est due au fait que
Je ne pense pas que "ordre total" suffise pour caractériser "intervalle" = "partie convexe"
Les rationnels vérifiant
Bonsoir verdurin !
Puisqu'on a défini
Maintenant il est vrai que ce n'est PAS la réunion signalée mais ce n'est pas une obligation !
Ta relation d'ordre ne permet pas de l'établir, c'est tout !
@Ramanujan !
Je n'ai toujours pas vu ta démonstration de l'inclusion
C'est ainsi que les intervalles sont définis sur un ensemble ordonné quelconque dans Bourbaki.
Évidemment, leurs propriétés change un peu de ce que l'on a l'habitude de voir sur IR avec l'ordre classique.
Par exemple, il faut que l'ensemble soit réticulé pour que l'intersection de deux intervalles soit un intervalle [ (Z,=) n'est pas réticulé ]
est défini comme étant l'ensemble tout entier.
Mon intervention ne portait que sur le fait que la définition de la notion d'intervalle n'avait pas été donnée par Ramanujan.
Je ne faisais que rappeler les définitions.
Bonsoir luzak.
Je ne pense pas que "ordre total" suffise pour caractériser "intervalle" = "partie convexe"
Certes, mais qui dit partie convexe sous-entend l'introduction d'une structure d'espace vectoriel. Or ici, ce n'est pas le cas; seuls interviennent l'ordre total et la propriété de la borne supérieure.
Les rationnels vérifiant
Je suis d'accord, c'est pour ça qu'on a la notion de segment et ce que tu décris là en est un, qui n'est effectivement pas un intervalle.
Les intervalles de tout ensemble totalement ordonné vérifient bien la propriété demandée par Ramanujan mais ne les caractérisent pas.
Ce qui est demandé par Ramanujan, c'est de montrer que les notions d'intervalles et de segment coïncident sur IR et de manière plus générale, sur tout ensemble totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieure.
@luzak.
Il me semble que les rationnels vérifiant forment un intervalle de
En tout cas ils vérifient la propriété (*). Qui n'implique en aucun cas l'existence d'une borne supérieure.
Et cet ensemble est bien une partie connexe de Q.
Pour je n'ai pas vu passer l'ombre d'une définition dans les messages précédents. Mais si tu le prends comme définition c'est bon.
Personnellement je ne parlerais d'intervalles que dans le cas d'ensembles totalement ordonnés.
Ou, à la rigueur, dans le cas de treillis complets.
Il me semble que les rationnels vérifiant
Oui, ils vérifient (*), ce qui en fait un segment de
Mais pas un intervalle car tu ne peux pas trouver dans
En tout cas, avec la topologie induite par celle de
Personnellement je ne parlerais d'intervalles que dans le cas d'ensembles totalement ordonnés.
Ou, à la rigueur, dans le cas de treillis complets.
On est bien d'accord, le reste ne relève que de la simple curiosité touristique.
verdurin a écrit :
Pour
Or le message de jsvdb à 22:54 disait
Et on a
Bref, comme il m'arrive souvent, tu n'avais pas tout lu !
..........................................
Ma première intervention demandait la définition d'un intervalle et j'attendais celle de jsvdb concernant les ensembles ordonnés.
L'exercice, à mon avis, consiste à démontrer que dans les réels, un intervalle défini par la relation d'ordre en question (qui revient en fait à énumérer exhaustivement les 9 modèles d'intervalles) vérifiait la propriété de convexité (je n'aurais pas dû utiliser ce mot car je visais seulement l'inclusion du segment défini par deux points : nul besoin de structure d'espace vectoriel pour cela).
.......................................
La balle est dans le camp du posteur initial : il devrait, dans son propre intérêt
Oups, je n'avais pas fini !
...dans son propre intérêt démontrer, dans chacun des quatre cas , l'inclusion indispensable.
Je n'ai pas compris pourquoi vous mettez des flèches à la place de . Vous partez dans des choses trop techniques pour moi, ça va encore plus me perdre que je ne l'étais déjà.
Montrons que donc
Soit . Donc
. Or
Alors . Donc
La suite est la démonstration du livre qui ne traite qu'un seul cas .
Démonstration :
Il suffit de démontrer que .
Soit . Montrons que
. Le réel
n'est pas un majorant de
car :
Si , alors
n'est tout simplement pas majoré.
Si , alors comme
est la borne supérieure de
donc le plus petit de ses majorants, le fait que
assure que
ne majore pas
.
Je n'ai pas compris ce passage. Dire que ne majore pas
c'est trouver un
tel que :
Mais n'appartient pas toujours à
! On sait juste que
et la borne supérieure n'est pas forcément atteinte
Il me semble que les rationnels vérifiant
Oui, ils vérifient (*), ce qui en fait un segment de
Mais pas un intervalle car tu ne peux pas trouver dans
En tout cas, avec la topologie induite par celle de
(*) je ne comprends pas ...
on a bien inventé le symbole
il me semble que
et
Je sais qu'on a déjà eu des discussions à ce sujet.
Le symbole n'est effectivement pas un réel, a une signification précise et ne devrait pas être employé en dehors de l'achèvement d'ensemble (e.g. pour les compactifications de type Tychonov ou Stone-Chech ou la droite achevée etc etc).
Mais bon, pédagogiquement, on a choisi de l'utiliser. Pourquoi pas ! ça m'a gêné à une époque, plus maintenant.
Après, oui, dans la même idée, on peut toujours considérer que est un "intervalle" de
. C'est un abus de langage très tolérable (et bien pratique), le tout, comme d'habitude, est de savoir de quoi on parle.
Après, si on a besoin de faire une étude un peu fine sur , il sera bon de faire la distinction entre segment et intervalle.
Mais je crois que dans ce fil, on n'en n'est pas là 
@Ramanujan
Je te répète que (ou
ou
) est évident par définition de
. Et je ne parle pas de
quand ni
ni
ne sont définis.
Je savais bien que tu calerais sur l'autre inclusion et c'est la raison pour laquelle j'insistais pour avoir une démonstration.
Tu me donnes celle du livre et tu es incapable de la comprendre tout simplement parce que tu n'as pas compris le sens des expressions "non majoré" et "borne inférieure".
.....................................................
Je traite le cas "minoré, non majoré" et je pense que tu devrais faire TOUT SEUL les autres cas.
Soit . On veut montrer
.
On prend donc .
Puisque n'est pas majoré, il existe
tel que
.
Puisque est le plus grand minorant de
et
il existe
tel que
.
Enfin, puisque vérifie la relation
on en déduit
.
A aucun moment je ne me suis occupé de l'appartenance de à
. TON livre a créé une complication avec son "tableau" à neuf entrées.
Ayant les inclusions on peut conclure :
Si alors
.
Sinon .
................................................
Il te reste la démonstration des trois autres cas :
minoré et majoré
non minoré et majoré
ni minoré, ni majoré
et inutile de te réfugier dans l'argument débile : MON livre ne les as pas faites !
@Luzak
Je ne comprends même pas ce que c'est que vos flèches. Je n'ai jamais vu ça ni quand j'étais en prépa ni dans un livre.
Il y a UN seul point que je n'ai pas compris dans la démonstration du livre, je l'ai mis. Mais vous partez sur une autre démonstration. Du coup je n'ai toujours pas compris.
Je sais très bien ce que c'est qu'une partie non majorée et une borne inférieure.
Je trouve votre démonstration plus compliquée que celle du livre, j'ai eu du mal à la comprendre.
et comme
alors
Sinon, j'aimerais bien comprendre le passage qui me bloque dans mon livre au lieu de fuir dans une nouvelle démonstration où je ne comprends même pas ce que c'est la flèche.
J'aimerais rester dans le cadre des démonstrations de mon livre, si je commence à étudier d'autres démos, je vais tout mélanger et ne plus rien comprendre.
Si déjà j'arrive à comprendre et retenir les démonstrations de mon livre ça serait bien.
il sera bon de faire la distinction entre segment et intervalle
J'ouvre un autre topic, ce sera mieux.
Sinon, j'aimerais bien comprendre le passage qui me bloque dans mon livre au lieu de fuir dans une nouvelle démonstration où je ne comprends même pas ce que c'est la flèche.
Ce n'est pas une autre démonstration mais celle de ton livre : je maintiens que tu ne sais pas ce que signifie "borne inférieure" !
Sinon, j'aimerais bien comprendre le passage qui me bloque dans mon livre au lieu de fuir dans une nouvelle démonstration où je ne comprends même pas ce que c'est la flèche.
Ce n'est pas une autre démonstration mais celle de ton livre : je maintiens que tu ne sais pas ce que signifie "borne inférieure" !
Mon livre n'utilise pas de flèche et ne fait qu'un seul cas (vous en faites 4), donc elle est différente.
La borne inférieure d'un ensemble c'est juste le plus petit des majorants de cet ensemble.
@Ramanujan
Comme déjà dit, ce qui te bloque c'est de ne pas avoir compris ce qu'est une borne supérieure ou inférieure.
Comme je refuse de nommer un truc qui n'existe pas, je te propose de démontrer
lorsque
.
Je répète que l'inclusion est évidente
Soit .
Puisque il existe
tel que
Puisque il existe
tel que
D'après la condition on a
donc
.
Pour conclure, avec les inclusions tu examines les cas
...
...
...
...
...............................................................
Et je redis, pour montrer que tu as compris, de traiter complètement les cas où ou les deux n'existent pas.
J'ai essayé de clarifier ce qui a été dit, et aussi de comprendre certaines choses. Il y a peu être des erreurs, et il n'y a rien de nouveau. J'espère que c'est juste...
La proposition que tu veux démontrer :
Proposition
Soit
Dans le sens
Si
C'est cela qui est considéré comme évident .
La réciproque :
Rappel :
Soit
Pour montrer cette implication, on choisit une partie
Soit
1ère étape :
Montrons que pour tout
Tu utilises les propriétés de la borne
...............................................à toi de jouer.............................................
2nd étape :
Ensuite tu montres que
...............................................à toi de jouer.............................................
Je crois avoir compris le point qui me bloquais. Vous avez raison je ne maîtrisais pas la définition de borne sup et inf.
Je vais essayer de traiter vos 4 cas.
Soit . Si
existe,
.
donc c'est le plus petit des majorants. Comme
,
n'est pas un majorant de
.
Or est un majorant de
si et seulement si
La négation de " est un majorant de
" donne :
.
Si (
non majoré) alors le réel
n'est pas un majorant de
. De même :
.
Dans tous les cas .
Si existe,
.
donc c'est le plus grand des minorants. Comme
,
n'est pas un minorant de
.
Or est un minorant de
si et seulement si
La négation de " est un minorant de
" donne :
.
Si (
non minoré) alors le réel
n'est pas un minorant de
. De même :
.
Dans tous les cas .
Finalement, . D'après la propriété (*), comme
, on a :
Mais . D'où le résultat.
1er cas : et
.
. Et
mais comme
on obtient
Finalement
Même raisonnement pour les 3 autres cas.
Par contre pour les cas où ou
comment faire ?
C'est incompréhensible ton truc....
Rappel de la caractérisation de la borne sup
Pour montrer que
Les caractérisations de la borne sup et inf te donnent directement
La seconde inclusion est évidente, on a
à partir des deux inclusions tu peux construire 4 intervalles, en fonction des bornes sup et inf, élément ou non de
Oui j'ai compris j'ai juste mal rédigé. Vous avez raison la caractérisation de la borne supérieure donne directement pour
Par contre pourquoi vous dites qu'il y a 4 cas alors qu'il y en a 9 en comptant les cas ou ou
?
Je n'ai pas compris la question.
Soit on a donc
Mais de toute façon, ça ne change rien si par exemple car on sait que dans ce cas
n'est pas majoré donc
ne majore pas
et donc :
Même chose pour .
Puis on fait comme précédemment pour les 4 cas traités, c'est exactement la même méthode !
non, c'est une question hors sujet.... tu disais dans un autre post que tu connaissais parfaitement ton cours, c'est pour cela..
Ah d'accord !
La caractérisation de la borne supérieure pour c'est
si et seulement si :
En posant on obtient :
il a tout compris aux intervalles....
Bijection
oui, maintenant que matheumatoux t'a mis les points sur les i
faut te poser des questions
pendant des heures tu travailles des sujets bijection
pendant des heures tu travailles des sujets intervalle
et au premier topic qui parle des deux, tu y écris un tissu de choses fausses....
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