Bonsoir,

Je viens vérifier mon raisonnement pour la question suivante :
On considère le polynôme où qui est irréductible sur . Je souhaite montrer que n'est pas une extension galoisienne de .

Etant donné que le polynôme n'admet qu'une seule racine réelle , je sais que . Par un calcul préalable, je sais que est une extension de degré 3 des rationnels, pour montrer qu'elle n'est pas galoisienne, je dois montrer que le groupe n'est pas de cardinal 3.

Pour ce faire, il suffit de constater que puisque l'homomorphisme est injectif alors .

Cela me semble un peu trop facile (en réalité le polynome admet deux autres racines complexes mais j'ai choisi volontairement de les ignorer et de considérer uniquement l'extension ). Mon raisonnement est-il valable ?