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Cauchy

Posté par
Tiantio 19-12-22 à 12:04

Bonjour à tous

Exo : En utilisant les inégalités de Cauchy, décrire toutes les fonctions f entières telles que : \forall z \in \mathbb{C} :
f(z) = f(iz) et |f(z) | \leq1+ {|z|}^3

(je sais pas si on parle des conditions de Cauchy-Riemann)

Merci pour vos réponses

Posté par
carpediemre : Cauchy 19-12-22 à 13:22

salut,

ouais faudrait déjà savoir de quoi on cause et ce que sont les inégalités de Cauchy !!

n'aurais-tu pas ça dans ton cours ?

si f est entière alors elle est dérivable et on peut utiliser les conditions de Cauchy

Posté par
lionel52re : Cauchy 19-12-22 à 15:48

Hello !   Il faut déjà montrer que f est un polynome de degré <= 3 en montrant la nullité de toutes les dérivées d'ordre >=4


Utilise l'inégalité de Cauchy pour z fixé et r qui tend vers l'infini.

Posté par
lionel52re : Cauchy 19-12-22 à 15:49

carpediem, par contre l'inégalité de Cauchy c'est un truc bien connu en analyse complexe

Posté par
carpediemre : Cauchy 19-12-22 à 16:07

ha oui d'accord !!

merci lionel52

Posté par
Ulmierere : Cauchy 19-12-22 à 16:26

Ben avant même d'utiliser la formule intégrale de Cauchy, on peut remarquer que

1) f(-iz) = f(i\times (-iz)) = f(z) = f(iz)
2) f(iz) = f(i\times iz) = f(-z)

donc f est une fonction paire

Posté par
Tiantiore : Cauchy 19-12-22 à 16:53

l'inégalité de cauchy :
|\frac{f^{(n)}(z)}{n!}| \leq \frac{1}{r^{n}} max _{\partial(z,r) }|f|

Posté par
Tiantiore : Cauchy 20-12-22 à 09:09

Bonjour à tous

Voici ce que j'aie fait :  soit f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}{a_nz^{n}}

2\pi a_n r^{n} = \int_0^{2\pi} f(re^{it})e^{-int}dt

|2\pi a_n r^{n} | \leq \int_0^{2\pi} 1+|z|^{3} dt = 2\pi(1+|z|^{3} )
pour z fixé et en faisant tendre r à l'infini , on a :  a_n = 0 si n\geq 4
donc f(z) =\sum_{n=0}^{3}{a_nz^{n}} et en utilisant le fait que f(z) = f(iz), on déduit que : f(z) = a_0 +\frac{1}{2}z^{2}, a_0 \in \mathbb{C}

Merci pour vos réponses

Posté par
Tiantiore : Cauchy 20-12-22 à 09:11

désolé je me suis trompé f(z) = a_0

Posté par
Ulmierere : Cauchy 20-12-22 à 12:18

C'est faux, on ne sait pas d'où sort ce z, mais je peux te dire que |f(re^{it})| \leqslant 1 + |re^{it}|^3 = 1 +r^3 et non 1+|z|^3 avec un z qui dépendrait de t

Posté par
Tiantiore : Cauchy 20-12-22 à 15:09

je suis d'accord avec ce que vous veniez d'écrire

est-ce vrai que : f(z)= f(iz) = a_0+a_1z+a_2z^{2}+a_3z^{3} =a_0+ia_1z-a_2z^{2}-ia_3z^{3} ?

Posté par
Ulmierere : Cauchy 20-12-22 à 16:03

Dans la formule intégrale de Cauchy il y'a un facteur \dfrac{1}{(\xi-z)^{n+1}} et il manque un i. Je ne suis pas sûr que tu comprennes d'où sort ton inégalité.

A supposer qu'elle soit vraie, tu est en train de dire que a r^n - br^3 - c \leqslant 0, où a,b,c sont trois réels positifs et r est libre d'être aussi grand que tu veux puisque C est simplement connexe et f entière.

Il est impossible que a soit non nul, sinon en faisant tendre r vers +\infty on trouve effectivement une contradiction. Donc f est un polynôme, de degré au plus 3. Et si tu lis ma réponse d'hier à 16h26, tu verras que f est paire, donc que tous les coefficients à indices impairs de son DSE sont nuls.

Donc f(z) = a_0 + a_2z^2 pour tout z complexe.
f(i) = ? et f(1) = ? Et comme f(1) = f(i) ça veut dire que f est ... ?

Posté par
Tiantiore : Cauchy 20-12-22 à 16:51

f est constante

Posté par
Ulmierere : Cauchy 20-12-22 à 19:19

Alternativement, si |a| < r,

2\pi i \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} = \int_0^{2\pi} \dfrac{f(re^{it})}{(re^{it}-a)^{n+1}}ire^{it}dt

donc 2\pi \dfrac{|f^{(n)}(a)|}{n!} \leqslant \int_0^{2\pi} \dfrac{r(1+r^3)}{|re^{it}-a|^{n+1}}dt \leqslant \dfrac{2\pi r(1+r^3)}{(r - |a|)^{n+1}}

En particulier quand |a| < r/2, \dfrac{|f^{(n)}(a)|}{n!} \leqslant 2^{n+1}r^{-n}(1+r^3). Ensuite on peut prendre a = 0 pour avoir toujours

|a_n| \leqslant \leqslant 2^{n+1}r^{-n}(1+r^3)



Dès que n > 3, le majorant tend vers 0 quand r tend vers l'infini donc tous les a_n, n\>3 sont nuls.

Posté par
Tiantiore : Cauchy 21-12-22 à 10:24

Merci pour votre réponse

J'ai tout compris

Encore merci

Posté par
Ulmierere : Cauchy 21-12-22 à 12:25


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