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Coefficient binomiaux de 3 en 3

Posté par
Ramanujan 26-02-19 à 19:10

Bonsoir,

Je comprends pas l'énoncé suivant :

Pour n \in \N^*, calculer :

S_0 =  \binom{n}{0} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{3k} + \cdots
S_1 =  \binom{n}{1} + \binom{n}{4} + \cdots + \binom{n}{3k+1} + \cdots
S_2 =  \binom{n}{2} + \binom{n}{5} + \cdots + \binom{n}{3k+2} + \cdots

Terminer le calcul pour n=100

Jusqu'où s'arrête la somme ?

Posté par
Zormuchere : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 19:18

Bonjour

le terme du bas ne peut pas être supérieur au terme du haut

à toi de voir où on s'arrête pour n=100

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 19:37

Ah oui d'après mon cours, le coefficient binomial \binom{n}{k} est nul pour k >n

On doit avoir : 3k \leq n ce qui donne :

k \leq \dfrac{n}{3}

On a va donc prendre k \in [|0, E(\dfrac{n}{3})|]

Ainsi je dois calculer :

S_0 = \sum_{k=0}^{E(\dfrac{n}{3})} \binom{n}{3k} ?

Posté par
carpediemre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 19:43

salut

en posant j = e^{i \frac {2\pi} 3} développer à l'aide du trinome de Newton (1 + j + j^2)^{100}

...

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 20:07

Je souhaite faire un changement d'indice dans ma somme :

S_0 = \sum_{k=0}^{E(\dfrac{n}{3})} \binom{n}{3k}

Posons p=3k

Soit : k \in [|0,E(\dfrac{n}{3})|]

J'ai donc : 0 \leq p \leq 3 {E(\dfrac{n}{3}) et là je bloque

Posté par
lafol Moderateurre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 20:33

Bonjour
on ne peut pas faire de changement d'indice multiplicatif dans une somme !
tu pars par exemple de k entre 0 et 2 : ça te fait 3 termes dans la somme, pour k=0, k=1 et k=2
une fois ton changement fait, p irait de 0à 3*2 = 6 : ça te fera 7 termes dans ta somme, il y a un sérieux souci, ne crois-tu pas ?

relis ce que Carpi t'a écrit, et réfléchis, au lieu de te comporter en automat(h)e !

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 20:42

J'ai pas compris son indication avec des j qui sortent de je sais pas où. Comment déjà on pourrait deviner qu'il faille faire ça ?

Comment utiliser le binôme de Newton pour exprimer S_0 ? Le 3k me gêne.

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 20:50

L'indication de Carpediem est pour la dernière question, je dois d'aborder calculer les sommes S_0, S_1 et S_2

Posté par
carpediemre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 20:57

n'importe quelle élève de primaire dirait que 100 = 99 + 1  

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 21:10

Sauf que je ne sais pas calculer S_0 et que c'est la première question.

J'ai juste écrit : S_0 = \sum_{k=0}^{E(\dfrac{n}{3})} \binom{n}{3k} et je vois pas quoi en faire.

Posté par
carpediemre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 21:10

on te dit que n = 100 !!!!!!!!!!!!!!!!!!

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 22:18

Pour les questions précédentes une expression en fonction de n de S_0 est attendue.

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 22:22

Je comprends pas la première ligne du corrigé :

(1+1)^n=  \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{3k}  + \binom{n}{3k+1}+ \cdots

Ca sort d'où cette formule ? C'est quoi ce k ?

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 22:29

Comment écrire :

S_0 =  \binom{n}{0} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{3k} + \cdots avec le symbole somme ?

C'est ça qui me gêne avec ce fameux k sorti de nulle part.

Posté par
luzakre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 23:18

Ton corrigé veut te faire calculer S_0+S_1+S_2 en faisant

Si n=3p+2 alors S_0+S_1+S_2=\sum_{0\leqslant k\leqslant p}\Bigl(\binom n{3k}+\binom n{3k+1}+\binom n{3k+2}\Bigr)

Si n=3p+1 alors S_0+S_1+S_2=\sum_{0\leqslant k<p}\Bigl(\binom n{3k}+\binom n{3k+1}+\binom n{3k+2}\Bigr)+\binom n{3p}+\binom n{3p+1}

Si n=3p alors S_0+S_1+S_2=\sum_{0\leqslant k<p}}\Bigl(\binom n{3k}+\binom n{3k+1}+\binom n{3k+2}\Bigr)+\binom n{3p}.

Mais si tu as lu ce corrigé (ce que tu aurais dû faire AVANT ton cri habituel "je comprends pas") tu aurais dû voir qu'il continue avec des racines cubiques de l'unité à moins qu'ils n'aient trouvé un moyen original que j'ignore.
N'ayant pas ton corrigé je ne chercherai pas à deviner !

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 26-02-19 à 23:43

J'ai enfin compris merci on voit mieux avec vos sommes suivant les valeurs de n :

(1+1)^n=  \binom{n}{0} + \binom{n}{1} +  \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{3k}  + \binom{n}{3k+1}+ \binom{n}{3k+2} + \cdots

(1+j)^n=   \binom{n}{0} + \binom{n}{1} j +  \binom{n}{2} j^2 + \cdots + \binom{n}{3k}  + \binom{n}{3k+1} j+ \binom{n}{3k+2} j^2 + \cdots

(1+j^2)^n=   \binom{n}{0} + \binom{n}{1} j^2 +  \binom{n}{2} j + \cdots + \binom{n}{3k}  + \binom{n}{3k+1} j^2 + \binom{n}{3k+2} j + \cdots

On faisant L_1 + L_2 + L_3 on trouve :

S_0 = \dfrac{1}{3} (2^n + (1+j)^n + (1+j^2)^n)

Ensuite pour S_1 et S_2 même principe il choisir les bonnes combinaisons linéaires mais si on a compris pour le premier c'est facile.

Posté par
luzakre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 27-02-19 à 08:06

Cela m'étonnerait que tu obtiennes des expressions aussi simples sans tenir compte du reste de n modulo 3.
Encore un méfait des écritures "points de suspension" !

Posté par
luzakre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 27-02-19 à 09:01

Je plaide coupable !
Cela marche très bien avec la convention k>n\implies\binom nk=0 car on peut écrire les sommes indexées sans limite :
(1+s)^n=\sum_{k\geqslant0}s^k\binom nk

Il reste alors à calculer les groupements
1^k+\alpha \mathrm{j}^k+\beta\mathrm{j}^{2k} selon le reste modulo 3 de k
dans les combinaisons 2^n+\alpha(1+\mathrm{j})^n+\beta(1+\mathrm{j}^2)^n
avec (\alpha,\beta)\in\{(1,1),\,(\mathrm{j},\mathrm{j}^2),\,(\mathrm{j}^2,\mathrm{j})\} )

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 27-02-19 à 14:01

Merci j'ai réussi à simplifier les expressions en utilisant l'arc moitié j'obtiens des cosinus.

Posté par
Ramanujanre : Coefficient binomiaux de 3 en 3 27-02-19 à 14:10

S_0 = \dfrac{1}{3} ( 2^n + 2 \cos(\dfrac{n \pi}{3}))

S_1= \dfrac{1}{3} ( 2^n + 2 \cos(\dfrac{(n+1) \pi}{3}))

S_2= \dfrac{1}{3} ( 2^n - 2 \cos(\dfrac{(n-1) \pi}{3}))


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