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Coefficients Binomiaux
Bonsoir, j'aimerais de l'aide afin de pouvoir faire ce calcul. Merci de m'aider
ÉNONCÉ
Soient p et q deux entiers positifs, démontrer que :
je dois donner ce que j'ai fait mais je ne vois pas encore comment commencer
Bonsoir,
On peut donner une démonstration combinatoire de l'égalité.
Soit A={0,1,...,p+q}.
Quel est le nombre de parties de A ?
Montrer que pour toute partie X de A, une et une seule des deux éventualités se produit :
1) X a au moins p+1 éléments ;
2) le complémentaire de X dans A a au moins q+1 éléments.
Compter le nombre de parties de A qui ont au moins p+1 éléments et dont le (p+1)-ème élément (pour l'ordre naturel sur A) est p+k (où 0 <= k <= q).
Bonsoir,
GBZM je me suis aussi intéressée à cet exercice, sans arriver à quoique ce soit. Mais un truc m'échappe dans ton indication : que faire du cas où le nombre d'une partie X serait p et celle de son complémentaire q ?
Salut,
de mon côté je tente une approche non ensembliste. Je ne suis pas au bout mais j'ai le résultat suivant:
en notant
il s'agit de montrer que
S est entierement définie par
et
Je détaille un peu la méthodologie :
Tout d'abord, se ramener à une égalité entre entiers pour utiliser les techniques de dénombrement. À démontrer :
Ensuite, on regarde la formule à démontrer du point de vue du dénombrement.
c'est le nombre de parties d'un ensemble à
éléments. La formule à démontrer va consister à compter ces parties en les répartissant en deux paquets correspondant aux deux sommes du membre de gauche de l'égalité.
On regarde alors une de ces sommes. , c'est le nombre de parties à
éléments d'un ensemble à
éléments, ou le nombre de parties à
éléments d'un ensemble à
éléments ;
, c'est le nombre total de parties d'un ensemble à
éléments. On rapproche ça de notre ensemble à
éléments amené par le membre de droite, et avec un peu d'expérience la lumière se fait ...
Je crois que j'y suis arrivée. Vraiment bien cette idée de passer par du dénombrement !!
Merci beaucoup GBZM
C'est au tour de pfff de s'y mettre maintenant.
GBZM, c'est toi qui gèreras ....
Jarod128, j'ai regardé ta proposition. Le début me va mais la dernière relation, je ne vois pas du tout .....
Multiplie les 2 membres de l'égalité de départ par ........
Et tu peux utiliser la notation k à la place de l dans la deuxième somme si ça te permet de mieux voir.
co11 ma relation de moyenne ?
Je l'ai obtenu en calculant la somme avec l'indice q+1, donc un terme en plus dans la somme, triangle de Pascal, de mémoire j'ai du sortir le k=0 à part et on y arrive. Je n'ai plus mes brouillons avec moi mais pourrais m'y replonger si besoin
Effectivement en multipliant par et en remplaçant k par l dans la deuxième somme on obtient :
tex]\large
\sum_{k=0}^q 2^{q-k} {p+k \choose k} + \sum_{\ell=0}^p 2^{p-\ell} {q+\ell \choose \ell} = 2^{p+q+1}[/tex]
j'aimerais un peu plus d'éclaircissement ici :
On regarde alors une de ces sommes.
Effectivement en multipliant par et en remplaçant k par l dans la deuxième somme on obtient :
j'aimerais un peu plus d'éclaircissement ici :
On regarde alors une de ces sommes.
Ça, c'était pour expliquer la démarche.
Tu peux revenir à mon premier message pour un parcours guidé.
Soit A={0,1,...,p+q}.
Quel est le nombre de parties de A ?
il s'agit de p+q+2
Montrer que pour toute partie X de A, une et une seule des deux éventualités se produit :
1) X a au moins p+1 éléments ;
la je ne comprends pas
non ce que j'ai ecrit n'est pas correct
A est un ensemble à p+q+1 éléments mais je ne vois pas comment déterminer le nombre de parties
Bon, vu ce que tu connais en matière de dénombrement, ce n'est pas la peine d'essayer la voie que j'ai indiquée.
pour p = 1 et q = 1 on a :
effectivement = 2
je veux essayer la récurrence mais je vois pas comment faire l'hérédité
Désolé, la marche est trop haute si, pour commencer, tu ne sais pas que le nombre de parties d'un ensemble à éléments est
.
bien sur que si c'est
je disais que l'ensemble que vous avez donné A={0,1,...,p+q} est constitué de p+q+1 éléments donc le nombes de parties est
Hoho, ne raconte pas d'histoire !
A est un ensemble à p+q+1 éléments mais je ne vois pas comment déterminer le nombre de parties
vous pouvez mieux expliquer ? jarod128
Tu veux des explications sur mon Sp,q et sa propriété ?
Ou sur la deuxième partie qui se résume à : via ma définition montrer par récurrence la propriété Sp,q+Sq,p=2?
Montrer que pour toute partie X de A, une et une seule des deux éventualités se produit :
1) X a au moins p+1 éléments ;
Je n'arrive pas a démontrer cela j'aimerais des indications
Ou sur la deuxième partie qui se résume à : via ma définition montrer par récurrence la propriété Sp,q+Sq,p=2?
Sur cette partie
Bonjour
Montrer que pour toute partie X de A, une et une seule des deux éventualités se produit :
1) X a au moins p+1 éléments ;
Je n'arrive pas a démontrer cela j'aimerais des indications
si tu n'es pas fichu capable de voir que quand on parle de UNE ET UNE SEULE des deux éventualités , essayer de montrer qu'on a une des deux est sans espoir, je crains qu'on ne puisse pas faire grand chose d'autre que ce que tu attends visiblement depuis le début : te donner la solution complètement rédigée !
Tu ne lis visiblement même pas jusqu'au bout ce que les différents intervenants te proposent !
Donne le mail de ton prof, on lui enverra directement la solution de ta part, ça t'évitera une entorse au poignet en la recopiant
Récurrence sur p. Remarque: cela implique pour tout q
p=0 je te laisse c'est évident.
Hérédité. Je n'ai pas trop le temps de rédiger correctement, je te donne l'idée.
Sp+1,q+Sq,p+1=1/2(Sp,q+Sp+1,q-1+1/2(Sq,p+Sq-1,p+1 via ma relation
Par HR les premiers termes de chaque parenthèse donnent 1.
On doit donc avoir Sq,p+Sq-1,p+1 =2
si q<p+2 c'est bon, on applique l'hypothèse de récurrence (forte) en changeant l'ordre de l'addition sinon, on recommence en transformant ces 2 termes avec ma relation, on a de nouveau deux termes donnant 1 et deux autres à prouver qu'ils valent ensemble 2. Cette fois ci, l'indice q devenant q-2. On réitère jusqu'à ce que l'indice avec q soit inférieur à p pour appliquer l'hypothèse de récurrence.
pfff fait allègrement du multipost via multisiteS 
donc il se débrouillera sans nous pendant quelques jours
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