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Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repère

Posté par
margo_7 28-02-11 à 20:22

Bonsoir, j'ai cet exercice à faire en DM mais je bloque sur plusieurs questions.

On considère un tétraèdre OABC tel que OAB, OBC et OCA soient des triangles rectangles en O, avec OA=2, OB=2\sqrt{3} et OC=3.

Partie A. Orthogonalité dans l'espace.
1. Faire une figure

2. Soit K le projeté orthogonal de O sur (AB).
Justifier que (AB) est orthogonale au plan (OCK).

3. Soit H le projeté orthogonal de O sur (ABC).
a. Justifier que H appartient à (CK).
b. Calculer \vec{AH}.\vec{BC}
c. Que représente le point H pour le triangle ABC?

Partie B. Dans un repère.
On considère le repère:
(O;\frac{1}{2} \vec{OA};\frac{1}{2\sqrt{3}} \vec{OB};\frac{1}{3} \vec{OC})

1. Justifier que ce repère est orthonormé.

2.a. Déterminer une équation cartésienne du plan (OCK) dans ce repère.
b. Déterminer les coordonnées de K.
c. Calculer l'angle \widehat{OKC}.

3.a. Déterminer l'aire du triangle ABC.
b. En calculant de deux façons différentes l'aire du tétraèdre OABC, déterminer la distance OH.

4.a. Montrer que les plans médiateurs des arêtes [OA], [OB] et [OC] ont un point commun dont on précisera les coordonnées.
b. Justifier qu'il existe une sphère circonscrite au tétraèdre et calculer son rayon.

5.a. Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre G des points O,A,B et C.
b. Que peut-on dire de la position des points G, O et ?

Mes réponses:
Partie A:
1. Faite
2. Je n'arrive pas le justifier. On sait que (OK)(AB) mais après..
3a. Faite
b. Je suppose que ca fait \vec{AH}.\vec{BC}=0 mais je sais pas comment le calculer.
c. H est le centre de gravité de ABC car c'est le point de rencontre des 3 hauteurs du triangle.

Partie B:
1. Faite
Et après, je n'ai pas encore cherché.

Merci de bien vouloir m'aider !

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 01-03-11 à 10:44

Hello,

Citation :
2. Soit K le projeté orthogonal de O sur (AB).
Justifier que (AB) est orthogonale au plan (OCK).

La droite (OC) est orthogonale au plan ((OAB) puisqu'elle est orthogonale à deux droites de ce plan : (OA) et (OB). Cette droite (OC) est donc orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier (AB).
Ainsi (AB) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (OCF), les droites (OK) et (OC).

Sauf erreur.

Posté par
Priamre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 01-03-11 à 10:45

A-2. Par construction, AB est perpendiculaire à OK.
Il faudrait trouver une autre droite du plan OCK qui serait orthogonale à AB.
3.b En décomposant selon Chasles les vecteurs AH et BC, on peut démontrer  AH.BC = 0.

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 01-03-11 à 10:52

Citation :
b. Je suppose que ca fait \vec{AH}.\vec{BC}=0 mais je sais pas comment le calculer.
c. H est le centre de gravité de ABC car c'est le point de rencontre des 3 hauteurs du triangle.

Il faut peut-être essayer :
\vec{AH}.\vec{BC}=(\vec{AO}+\vec{OH}).\vec{BC}

H n'est pas le centre de gravité mais l'orthocentre.

Posté par
edualcre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 01-03-11 à 11:17

bonjour

petite précision

si une est droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan, alors elle est perpendiculaire à ce plan.

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 03-03-11 à 15:21

Désolée, je n'ai pas pu me connecter avant.

Pour la A2, jai reussi à trouver avec les produits scalaires entre deux droites de (OCK) non paralleles: AB.OK=0 et AB.OC=AO.OC+OB.OC or AO.OC=0 et OB.OC=0 car angles droits donc AB.OC=0

Pour la 3b, AH.BC=AO.BC+OH.BC, or OH.BC=0 car comme (OH)(AB) et que (AB) et (BC) (ABC), (OH)(BC), et AO.BC=AO.BO+AO.OC=0

Merci MisterJack pour l'orthocentre, je n'ai pas fais attention.

Pour la B2a, je n'arrive pas à trouver les coordonnées d'un vecteur normal.

Si quelqu'un a une piste et si je ne cherche pas dans le bon sens, merci de me le dire..

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 03-03-11 à 16:40

Je pense avoir trouvé l'équation du plan : -2x+2\sqrt{3}y=0.

Mais comment trouver les coordonnée de K?

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 03-03-11 à 18:16

Ok l'équation du plan est juste...en effet un vecteur normal est tout simplement \vec{AB}.
Pour les coordonnées de K il faut faire l'intersection du plan (OCK) avec la droite (AB)....pour cela il faut trouver les équations paramétrique de (AB) en écrivant : \vec{AM}=k\vec{AB}. Puis substituer dans l'équation de (OCK), on trouve ainsi une équation en k qui te permet de trouver k ( k=1/4) et enfin les coordonnées de K.

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 03-03-11 à 18:46

Alors je trouve x_K=\frac{3}{2} et y_K=\frac{\sqrt{3}}{2} et z_K=0.

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 03-03-11 à 18:49

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 03-03-11 à 19:17

Peut on prouver que le triangle OKC est rectangle et a ce moment là, comme on connait OC=3 et que après calcul, OK=\sqrt{3}, on peut alors calculer l'angle, mais est ce possible ?

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 03-03-11 à 19:33

Oui oui le triangle OKC est évidemment rectangle en O vu que (OC) est orthogonales au plan (OAB). Ensuite c'est de la trigo de troisième.

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 04-03-11 à 12:39

Pour l'angle, je trouve 60°.

Et pour l'aire de ABC, je trouve 4\sqrt{3}.

Pour la question 3b, je me suis trompée, ce n'est pas l'aire qu'il faut calculer mais le volume du tétraèdre de deux façons différentes.

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 04-03-11 à 19:47

Pour l'angle je suis d'accord. Pour l'aire je me demande si tu n'as pas oublié de diviser par 2 ???

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 04-03-11 à 19:48

Citation :
Pour la question 3b, je me suis trompée, ce n'est pas l'aire qu'il faut calculer mais le volume du tétraèdre de deux façons différentes.

certes dans la 3)b) c'est un volume dont il s'agit mais dans la 3)a) c'est bien de l'aire dont il est question.

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 00:53

Pour la 3a, on fait: \frac{AB\times CK}{2}=\frac{4\times2\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 09:21


\frac{OA\times OB}{2}=\frac{2\times2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}
ou
\frac{AB\times OH}{2}=\frac{4\times\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 09:23

ups désolé ceci c'est l'aire de OAB...qui pourra servir pour le calcul du volume du tétraèdre.
OUI OUI pour la 3)a) tu as absolument raison

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 13:16

Comment peut-on calculer le volume sans connaitre la hauteur?
Doit-on diviser le tétraèdre en parties, calculer leurs volumes et les additionner?

Je ne vois pas d'autre formule que \frac{1}{3}\times B\times h pour le volume d'un tétraèdre.

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 18:12

Hé bien tu connais l'aire de la base OAB, je l'ai calculé dans un post précédent B=2\sqrt{3}, la hauteur correspondante c'est OC=3 donc si tu appliques la formule cela donne .....hé mais c'est à toi de faire ça.....

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 18:33

Donc on a 2\sqrt{3} pour le volume.

Pour la deuxième façon, je n'ai pas d'idée.

Par contre, on peut calculer OH:
V=\frac{B \times h}{3} \\ 2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}\times OH}{3} \\ OH=\frac{3}{2}

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 18:46

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 19:00

Pour la 4a, on doit montrer que les droites (des plans) passant par les milieux de [OA], [OB] et [OC] sont concourantes en .
Je suppose d'être sur [OH].

Mais comment peut-on montrer cela?

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 19:05

Bah tout simplement les plans médiateur de OA et OB se coupent suivant une droite orthogonale au plan OAB, et le trosimème plan médiateur de OC coupe cette droite en un point qui est le point cherché....non ?

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 19:08

Bon Margot je dois y aller là....mais je ne te laisse pas tomber....je reviens vers 20h00.
Pendant ce temps tu peux mettre des réponses ou des questions.

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 19:09

D'accord, merci beaucoup !

Je réfléchie aussi aux autres questions.

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 19:59

Okay...je suis revenu.

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 20:01

Les coordonnées des points sont (\frac{3}{2};0;0), (0;\sqrt{3};0) et (0;0;1), respectivement milieux de [OA], [OB] et [OC].

Faut-il trouver les équations des droites pour déterminer leur point de d'intersection?

Pour la 4b, je pense que est équidistant de A, B et C, et que c'est le centre de la sphère. On calcule son rayon grâce au coordonnées de .

Pour la 5a, \vec{GO}+\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 20:07

Pour la 4)b) as-tu trouvé les coordonnées de . Bien sûr il est équidistant des sommets du tétraèdre. Oui pour trouver le rayon il faut calculer O avec les coordonnées de .

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 20:13

Je comprends pas ton histoire de , et . Les coordonnées de sont assez simples à trouver : 1, 3 et 3/2. Ou je me trompe ???

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 05-03-11 à 20:17

Quant à l'isobarycentre on calcule ses coordonnées en utilisant :

\vec{OG}=\frac{\vec{OO}+\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{4}

Posté par
margo_7re : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 08-03-11 à 22:19

J'ai réussi à terminer avec ce que tu m'as dis.

Je te remercie de m'avoir aidé.

Posté par
MisterJackre : Coin de cube - Orthogonalité dans l'espace et dans un repèr 09-03-11 à 08:24

De rien Margo


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