Tout d'abord bonjour,
On pose
On admet que et que l'on a
On pose
La question est la suivante:
En utilisant ce qui précède montrer que
Attention il s'agit d'une aplication de la formule de STIRLING, mon problème vient du fait qu'il ne faut pas l'appliquer directement mais la retrouver à partir de ce qui précède.
Merci d'avance
Je croyais qu'on était passé aux notations anglo-saxones pour les nombres de combinaisons.().
De plus il manque un exposant n dans ton intégrale (dite de Wallis)
Ceci dit, il faut commencer par chercher un équivalent de
On étudie pour cela
Les suites et sont donc de même nature et comme la seconde converge (série de Riemann), la première converge.
Or donc la suite de terme général et par la suite converge vers un réel .
Une fois ce résultat acquis on peut écrire
Donc CQFD
Pour info sur l'obtention des équivalents
On montre que
et par intégration par parties
Ce qui conduit à la relation de récurrence
On a donc
(c'est le produit des entiers impairs jusqu'à 2n sur le produit des entiers pairs).
et
Donc
On montre ensuite que la suite est positive et décroissante donc
Donc
Ce qui est en contradiction avec ton énoncé mais dont je suis certain. Les équivalents des découlent de celui de
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