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Niveau Licence Maths 1e ann
Comment calculer la racine carré d'un nombre complexe
Posté par dekl
Bonjour,
Je souhaiterai savoir comment calculer la racine carré d'un nombre complexe Grace a sa forme trigonométrique.
Merci de bien vouloir m'expliquer 
Quand tu écris le complexe sous sa forme exponentielle z=
*exp (i
), avec la convention >0, tu remarques facilement que y=(
)exp(i/2) est bien une racine de z.
en reportant cela dans la forme trigonométrique on retrouve que y=()(cos(/2)+isin(/2)) est une racine de (cos()+isin())
ce qui se prouve par ailleurs par le calcul direct de y²
Elémentaire, mais attention de ne pas dire, en Licence, LA racine racine d'un nombre complexe.
... car il y en a 2 (on n'est pas ici dans les réels)
Soir le nombre complexe z mis sous forme trigono:
z = |Z|.e^(arg(z))
on peut écrire : z = |Z|.e^(arg(z) + 2k.Pi)
z^(1/2) = V(|Z|).e^((1/2).arg(z) + k.Pi) (Avec V pour le signe radical (racine carrée pour les réels).
k = 0 et k = 1 donne les 2 racine carrées cherchées, qui sont donc :
z1^(1/2) = V(|Z|).e^((1/2).arg(z))
z2^(1/2) = V(|Z|).e^((1/2).arg(z) + Pi)
Et compte tenu que e^((1/2).arg(z) + Pi) = - e^((1/2).arg(z)), on a:
z1^(1/2) = V(|Z|).e^((1/2).arg(z))
z2^(1/2) = -V(|Z|).e^((1/2).arg(z))
sont les 2 racines carrées de z
-----
Exemple z = (1 + i)
|Z| = V2
z = V2.(1/V2 + i.1/V2)
z = V2.(cos(Pi/4) + i.sin(Pi/4))
arg(z) = Pi/4
Les racines carrées de z sont :
z1^(1/2) = V(V2).e^(Pi/8))
z2^(1/2) = -V(V2).e^(Pi/8)
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Sauf distraction.
Ok merci beaucoup de votre aide, je n'ai pas fait bac S donc j'avais juste vu Ca cette année et le prof était passé très vite dessus...
Le module c'est bien (A+b)?