Annuler
connectez vous
analyse complexe en post-bac
- Les nombres complexes - supérieur
- Nombres complexes : les classiques
- Ensemble et application Partie II
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Comment calculer la racine carré d'un nombre complexe
Posté par dekl
Bonjour,
Je souhaiterai savoir comment calculer la racine carré d'un nombre complexe Grace a sa forme trigonométrique.
Merci de bien vouloir m'expliquer 
Quand tu écris le complexe sous sa forme exponentielle z=
*exp (i
), avec la convention >0, tu remarques facilement que y=(
)exp(i/2) est bien une racine de z.
en reportant cela dans la forme trigonométrique on retrouve que y=()(cos(/2)+isin(/2)) est une racine de (cos()+isin())
ce qui se prouve par ailleurs par le calcul direct de y²
Elémentaire, mais attention de ne pas dire, en Licence, LA racine racine d'un nombre complexe.
... car il y en a 2 (on n'est pas ici dans les réels)
Soir le nombre complexe z mis sous forme trigono:
z = |Z|.e^(arg(z))
on peut écrire : z = |Z|.e^(arg(z) + 2k.Pi)
z^(1/2) = V(|Z|).e^((1/2).arg(z) + k.Pi) (Avec V pour le signe radical (racine carrée pour les réels).
k = 0 et k = 1 donne les 2 racine carrées cherchées, qui sont donc :
z1^(1/2) = V(|Z|).e^((1/2).arg(z))
z2^(1/2) = V(|Z|).e^((1/2).arg(z) + Pi)
Et compte tenu que e^((1/2).arg(z) + Pi) = - e^((1/2).arg(z)), on a:
z1^(1/2) = V(|Z|).e^((1/2).arg(z))
z2^(1/2) = -V(|Z|).e^((1/2).arg(z))
sont les 2 racines carrées de z
-----
Exemple z = (1 + i)
|Z| = V2
z = V2.(1/V2 + i.1/V2)
z = V2.(cos(Pi/4) + i.sin(Pi/4))
arg(z) = Pi/4
Les racines carrées de z sont :
z1^(1/2) = V(V2).e^(Pi/8))
z2^(1/2) = -V(V2).e^(Pi/8)
-----
Sauf distraction.
Ok merci beaucoup de votre aide, je n'ai pas fait bac S donc j'avais juste vu Ca cette année et le prof était passé très vite dessus...
Le module c'est bien (A+b)?