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Complexe

Posté par
scrogneugneu 26-09-08 à 15:28

Salut !

On sait que z^{2n}-1=(z^2-1)\Bigsum_{k=0}^{n-1}z^{2n}

Comment montrer que z^{2n}-1=(z^2-1)(z^2-2zcos(\frac{\pi}{n})+1)(z^2-2zcos(\frac{2\pi}{n})+1)...(z^2-2zcos((\frac{n-1}{n})\pi)+1)

Je sais que z^{2n}=1 donne z_k=\exp(ik\frac{\pi}{n}) avec 0\le k\le 2n-1

Merci !

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexe 26-09-08 à 15:32

Bonjour

Regroupe et calcule (z-z_k)(z-\overline{z_k})

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 15:38

Salut Camélia

Je trouve donc (z-z_k)(z-\bar{z_k})=z^2-2zcos(\frac{k\pi}{n})+1 mais je ne vois pas trop quoi en faire !

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexe 26-09-08 à 15:43

Tu sais que
z^{2n}-1=(z^2-1)\bigprod_{\begin{array}1\leq k\leq n-1\\ n+1\leq k\leq 2n-1\end{array}}(z-z_k)

Or z_{n+k}=z_{-k}=\overline{z_k}

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 15:49

Gloups !

Je ne comprends pas trop les indices ... pourquoi n'a-t-on pas 0\le k\n-1

Quant aux autres indices, je ne vois pas

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 15:49

Mince, 0 \le k\n-1

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 15:49

Grr 0 \le k \le n-1

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexe 26-09-08 à 16:00

On veut les racines 2n-èmes! On écrit

z^{2n}-1=(z^2-1)[(z-e^{i\pi/n})(z-e^{(2n-1)i\pi/n}]...[(z-e^{(n-1)i\pi/n})(z-e^{(n+1)i\pi/n})]

enfin, on les groupe deux par deux en prenant ensemble les conjugués!

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 16:26

Je crois que ça commence à rentrer et je vois où tu voulais en venir.

J'arrive à écrire z^{2n}-1=(z^2-1)[(z-e^{i\pi/n})(z-e^{(2n-1)i\pi/n}]... mais je ne vois pas trop comment tu trouves le dernier facteur.

Merci

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 16:28

Oups, attends deux minutes avant de répondre s'il te plait, je crois avoir compris un truc

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexe 26-09-08 à 16:30

J'ai essayé (et peut-être pas réussi) à numéroter les racines du demi-cercle supérieur, mariées chacune à sa symétrique (conjuguée) du demi-cercle inférieur. Il ne faut pas oublier d'éliminer 1 (k=0) et -1 (k=n) qui figurent séparément.

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 16:31

Non bah tu peux répondre en fait, je ne vois pas comment trouver le dernier facteur

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 16:33

Ok c'est plus clair

Citation :

J'ai essayé (et peut-être pas réussi) à numéroter les racines du demi-cercle supérieur, mariées chacune à sa symétrique (conjuguée) du demi-cercle inférieur. Il ne faut pas oublier d'éliminer 1 (k=0) et -1 (k=n) qui figurent séparément.[sub][/sub]

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 16:46

D'accord, donc si je reprends : 4$z^{2n}-1=(z^2-1)\bigprod_{\begin{array}1\leq k\leq n-1\\ n+1\leq k\leq 2n-1\end{array}}(z-z_k)

Je comprends pourquoi il faut éliminer k=0 et k=n, ça pas de problème.

Comme tu l'as dit, on a : z_{n-k}=\bar{z_k}

Je comprends également ce que l'on cherche à faire, à savoir : essayer (et peut-être pas réussi) à numéroter les racines du demi-cercle supérieur, mariées chacune à sa symétrique (conjuguée) du demi-cercle inférieur. Il ne faut pas oublier d'éliminer 1 (k=0) et -1 (k=n) qui figurent séparément

Mais comment vois-tu que 1\le k \le n-1 sont sur le demi-cercle supérieur et les n+1 \le k \le 2n-1 sont sur le demi-cercle inférieur ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexe 26-09-08 à 16:50

On est bien d'accord? z_k=e^{ki\pi/n} un argument de ce truc est k/n. Pour k de 1 à n-1, c'est entre 0 et , donc sinus positif, entre n+1 et 2n-1 c'est entre et 2, donc sinus négatif.

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 16:54

Bien vu, merci !

Et avec z_{n-k}=\bar{z_k}, tu arrives à voir que les z_k avec 1\le k \le n-1 sont les conjugués de n+1 \le k \le 2n-1 ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexe 26-09-08 à 16:55

Oui, c'est exactement ça!

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 16:55

J'arrive bien à voir que z_{2n-1}=bar{z_1} mais après ?

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 16:56

Ok, mais comment fais-tu ?

Car j'arrive bien à voir que z_{2n-1}=\bar{z_1} mais par exemple, pour z_{n-1}=\bar{z_1} aussi ...

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexe 26-09-08 à 16:59

Si j est entre n+1 et 2n

e^{(2n-j)i\pi/n}=e^{2i\pi-ji\pi/n}=e^{2i\pi}e^{-ij\pi/n}=1\times \overline{e^{ij\pi/n}}

Posté par
scrogneugneure : Complexe 26-09-08 à 17:18

AH oui c'est limpide maintenant, merci beaucoup Camélia !

Si je pouvais, je t'offrirai une ch'ti


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