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complexe

Posté par
meriemm 29-09-10 à 20:05

z1 et z2 sont deux nombres complexes de module 1. On notera α (alpha) un argument de z1 et β un argument de z2.

1°) a) Démontrer que (z1 + z2)² / (z1*z2) est un réel positif ou nul.

b) Dans quel cas est-il nul ?

2°) Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct ( O ; vecteur(u) ; vecteur(v) ). Soient A et B deux points d'affixes respectives a et b. On suppose que A, O et B ne sont pas alignés. Calculer en fonction de a et b l'affixe Z du barycentre I du système {(A, |b|), (B, |a|)}.

3°) a) Montrer que Z²/ab est réel strictement positif.

b) Exprimer arg Z en fonction de arg a et de arg b.
  

je  bloque a la 3e question

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 29-09-10 à 23:41

Bonsoir,

Tu dois pouvoir montrer que:

3$Z=\frac{|ab|}{(|a|+|b|)^2}\,\frac{\left(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}\right)^2}{\frac{a}{|a|}\,\frac{b}{|b|}}

et te servir de la question 1) en posant Z_1=\frac{a}{|a|} et Z_2=\frac{b}{|b|} tous deux de module 1

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 29-09-10 à 23:43

Plutôt:

3$\frac{Z^2}{ab}=\frac{|ab|}{(|a|+|b|)^2}\,\frac{\left(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}\right)^2}{\frac{a}{|a|}\,\frac{b}{|b|}}

Posté par
meriemmre : complexe 30-09-10 à 21:10

merci aprés avoir fait cela je dois developper le carré ?

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 21:29

Mais pas du tout!

On suppose que a et b sont non nuls sinon A et O ou B et O seraient confondus.

3$\frac{Z^2}{ab}=\frac{|ab|}{(|a|+|b|)^2}\,\frac{\left(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}\right)^2}{\frac{a}{|a|}\,\frac{b}{|b|}}

D' après la question 1):

3$\frac{\left(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}\right)^2}{\frac{a}{|a|}\,\frac{b}{|b|}}

qui est de la forme \frac{(Z_1+Z_2)^2}{Z_1Z_2} avec |Z_1|=|Z_2|=1

est un réel positif!

De plus, il ne s' annulle jamais car a et b sont non nuls et b\not=-a car il est spécifié que O,A et B sont non alignés.

Donc 3$\frac{\left(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}\right)^2}{\frac{a}{|a|}\,\frac{b}{|b|}} est un réel strictement positif.

Et 3$\frac{|ab|}{(|a|+|b|)^2} est aussi un réel strictement posititif (toujours parce que a et b non nuls).

Donc \frac{Z^2}{ab} est un réel strictement positif.

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 21:51

Pour la suite des événements:

On tombe sur Arg(Z)=\frac{Arg(a)+Arg(b)}{2}\;\;[\pi]

Le modulo \pi est très génant; après tout, les points A et B étant donnés, le point M d' affixe Z est parfaitement défini et unique.

Des considérations géométriques (M\in [AB]) permettent de lever cette "indétermination":

Arg(Z)=\frac{Arg(a)+Arg(b)}{2}\;\;[2\pi]

Un dessin pour l' interprétation géométrique:

complexe

Le point M(Z) est le pied de la bissectrice issue de O du triangle OAB

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 21:57

Un petit rectificatif à 21h29:

De plus, il ne s' annulle jamais car a et b sont non nuls et b\not= ka avec k\in\mathbb{R}^{-*} car il est spécifié que A,B et O sont non alignés.

Posté par
meriemmre : complexe 30-09-10 à 22:36

mercii beaucoup je viens de comprendre !!!

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 22:42

De rien meriemm


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