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complexe

Posté par
misskara 30-09-10 à 22:46

Bonjour!

Il s'agit d'un entier naturel supérieur ou égal à 2.

je dois factoriser le polynôme P défini par:
P(z)=z^(n+1) + z^(n+2) + ...... + z + 1

puis démontrer que allant de k=1 à k=n-1 module de (1-e(2ik/2)=n

pour enfin en déduire que allant de k=1 à k=n-1 sin(k/n)=n/(2^(n-1))

Il faut dire que je ne sais pas par où commencer. Pourrais-je avoir quelques pistes seulement?

merci d'avance!

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 22:54

Bonsoir,

Citation :
P(z)=z^(n+1) + z^(n+2) + ...... + z + 1


Il y a quelque chose qui ne va pas dans cette écriture...

Posté par
misskarare : complexe 30-09-10 à 22:57

Je suis vraiment désolée il s'agit bien sûr de - dans les puissances

P(z)=z^(n-1) + z^(n-2) + ...... + z + 1

Je pense y avoir reconnue une suite géométrique de raison (1/z)...

encore pardon pour cette erreur!

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 22:59

Plutôt une somme de n termes consécutifs d' une suite géométrique de raison z non ?

Posté par
misskarare : complexe 30-09-10 à 23:06

de n termes consécutifs bien sûr...et de raison z également...

la factorisation est faite!

pour ce qui est de la question 2, je pensais essayer de faire réapparaître des sinus...mais ce n'est qu'une idée (qui n'ont pas l'air très bonnes pour l'instant!)

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 23:08

Bon, je continue:

Pour z \not=1

P(z)=\frac{z^n-1}{z-1}

Or z^n-1=\Bigprod_{k=0}^{n-1}\left(z-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right) (les racines n èmes de l' unité)

Donc P(z)=\Bigprod_{k=1}^{n-1}\left(z-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right) (en divisant par z-1)

et cette formule est encore valable pour z=1 ...

Posté par
misskarare : complexe 30-09-10 à 23:19

ok! pour l'instant je comprends il existe donc n complexes tel que z^(n)=1 c'est à dire z=e(i2k/n)....

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 23:22

Voui et on obtient:

P(z)=\Bigprod_{k=1}^{n-1}\left(z-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right) la factorisation est faite)

Cette formule reste valable pour z=1

Justement que se passe-t-il si on prend z=1 dans la formule précédente ?

Posté par
misskarare : complexe 30-09-10 à 23:26

On obtient la réponse de la question 2!! c'est à dire n!

Posté par
misskarare : complexe 30-09-10 à 23:32

on bien ensuite par exemple pour n=2, (1-e(i/2).(1-e(i/2)
on développe l'exponentielle pour une parenthèse par exemple on a 1-cos(x)-isin(x)
et a l'aide d'une formule on fait 1-cosx = 2sin[sup][/sup](x/2)


C'est la bonne démarche??

Posté par
misskarare : complexe 30-09-10 à 23:34

pardon pour n=4 (1-e(i/2).(1-e(i)

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 23:35

Voui!

On a donc:

\Bigprod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)=n

Pour faire apparaître des produits de sinus dans le premier membre, il faut factoriser par e^{i\frac{k\pi}{n}} dans la parenthèse puis utiliser une des deux formules d' Euler et arranger tout ça. Tu verras des 2^{n-1} apparaître.

Bon, si tu ne l' as jamais fait, ce n' est pas immédiat...

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 23:36

Je répondais "oui" à ta réponse de 23h26, pas à la suite...

Posté par
misskarare : complexe 30-09-10 à 23:40

je vous remercie, c'est la première fois que je traite un exercice de la sorte (je pense que ça s'est vu)

même si il s'agit d'une somme ou d'un produit, je n'ai pas l'habitude de travailler avec des ou

et jamais je n'aurais pensé à la racine n-ième de l'unité....

Bonne soirée et encore merci!

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 30-09-10 à 23:45

Il te restera à évaluer le produit de sinus...

Repasse demain voir ton topic...

Bonne soirée à toi et de rien misskara

Posté par
cailloux Correcteurre : complexe 01-10-10 à 00:13

Au cas où tu repasses:

3$\Bigprod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)=n

3$\Bigprod_{k=1}^{n-1}\left[e^{i\frac{k\pi}{n}}\left(e^{-i\frac{k\pi}{n}}-e^{i\frac{k\pi}{n}}\right)\right]=n

3$\Bigprod_{k=1}^{n-1}\left(-2i\,\sin\,\frac{k\pi}{n}\,e^{i\frac{k\pi}{n}}\right)=n

3$2^{n-1}\left(\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\,\frac{k\pi}{n}\right)\left(\Bigprod_{k=1}^{n-1}e^{-i\frac{\pi}{2}}e^{i\frac{k\pi}{n}}\right)=n

3$2^{n-1}\left(\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\,\frac{k\pi}{n}\right)\left(\Bigprod_{k=1}^{n-1}e^{i\pi\left(\frac{k}{n}-\frac{1}{2}\right)}\right)=n

3$2^{n-1}\left(\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\,\frac{k\pi}{n}\right)\,e^{i\pi\underbrace{\Bigsum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k}{n}-\frac{1}{2}\right)}_{0}}\qquad=n

3$2^{n-1}\left(\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\,\frac{k\pi}{n}\right)=n

3$\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\,\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}


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