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Complexe

Posté par
mathilde76 30-10-18 à 17:36

Bonjour, je bloque sur une question:
Déterminer des réels a, b, c, d ,e tels que pour tout z , z5+1=(z+1)xQ(z)
avec Q(z)= az4+ bz3+ cz2+dz +e.
A la question précédente il me demandait de résoudre l'équation z5+1=0 en écriture exponentielle, j'ai trouver e/5 +2/5k avec cinq solutions sur [0;2],
e/5
e3/5
e
e7/5
e9/5

Posté par
malou Webmasterre : Complexe 30-10-18 à 17:41

plein de méthodes...
faire une division de polynômes ou
développer et identifier ou
utiliser les suites géométriques ou
.....

Posté par
jsvdbre : Complexe 30-10-18 à 17:44

Bonjour mathilde76.
La solution classique pour trouver les coefficients consiste à prendre des valeurs particulières pour z.
Ainsi, par exemple, pour z = 0, on trouve e = 1.

mathilde76 @ 30-10-2018 à 17:36


A la question précédente il me demandait de résoudre l'équation z5+1=0 en écriture exponentielle, j'ai trouver e/5 +2/5k avec cinq solutions sur [0;2],
e/5
e3/5
e
e7/5
e9/5

Attention, z^5 + 1 = 0 équivaut à z^5 = e^{i\pi + 2ik\pi},~k\in\Z

Donc les solutions sont z_k = e^{\frac{i\pi}{5} + \frac{2ik\pi}{5}},~k=0,1,2,3,4

Du coup, dans la solution que je propose au début, tu vas remplacer z par ces 5 valeurs.

Posté par
jsvdbre : Complexe 30-10-18 à 17:49

Mais tu peux aussi faire une division de polynôme, c'est même plus simple ...

Posté par
lafol Moderateurre : Complexe 30-10-18 à 17:52

Bonjour
puisque tu as les racines, tu peux écrire z^5+1 sous forme complètement factorisée, puis développer les quatre facteurs autres que z+1, en commençant par regrouper les termes conjugués, histoire de faire apparaître les coeffs réels

Posté par
mathilde76re : Complexe 30-10-18 à 18:17

jsvdb @ 30-10-2018 à 17:44

Bonjour mathilde76.

Donc les solutions sont z_k = e^{\frac{i\pi}{5} + \frac{2ik\pi}{5}},~k=0,1,2,3,4

Du coup, dans la solution que je propose au début, tu vas remplacer z par ces 5 valeurs.


Merci de votre réponse, mais je comprend pas bien, si je remplace d'abord par Z0, qui vaut ei/5, il y a juste z5 qui n'enlève et il me reste toute les inconnues sauf le e=1....

Posté par
jsvdbre : Complexe 30-10-18 à 19:36

C'est pas la méthode la plus simple. Divise les polynômes et ça se fait tout seul.

Posté par
carpediemre : Complexe 30-10-18 à 19:42

salut

z^5 + 1 = z^5 + z^4 - z^4 - z^3 + z^3 + z^2 - z^2 - z + z + 1 = ...  (niveau collège)



z^5 + 1 = 1 - (-z)^5 = (1 - (-z)) \dfrac {1 - (-z)^5} {1 - (-z)} = ...   (cours de première/terminale)

Posté par
mathilde76Trouver l'équation de degrè2 31-10-18 à 14:52

Bonjour, je n'arrive pas à une question,
Montrer que cos(/5) et cos(3/5) sont solutions d'une équation de degrés deux.
Donc ax2+bx+c =0
J'ai fait un système
cos(/5) =(-b+)/2a
cos(3/5)= (-b-)/2a
J'ai remplacer delta par : b2-4ac
Mais j'ai trois inconnu... J'ai alors pris le cas ou x=0 dans ce cas c=0 mais lorsque je résous le système j'ai a=0 et b=0...

Merci d'avance pour votre aide.

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Trouver l'équation de degrè2 31-10-18 à 14:56

Bonjour mathilde76.
Deux réels à et b sont toujours solutions de (x-a)(x-b)=0

*** message déplacé ***

Posté par
mathilde76re : Trouver l'équation de degrè2 31-10-18 à 15:07

Je comprend pas bien à quoi ça peu me servir.. Si je l'ajoute dans le système je me retrouve avec des x en plus... Déjà est-ce que je pars sur la bonne méthode en faisant un système?

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Trouver l'équation de degrè2 31-10-18 à 15:15

Je t'ai donné l'equation vérifiée par tes deux réels, que veux tu de plus ?

*** message déplacé ***

Posté par
mathilde76re : Trouver l'équation de degrè2 31-10-18 à 15:23

ok j'ai compris

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Complexe 31-10-18 à 16:09

Bonjour
vraisemblablement une question du même exercice, me trompé-je ? e tous cas c'en est une suite logique


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