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Complexe complexité
Posté par AVCesar_
Bonsoir,
J'ai à résoudre un petit problème concernant les nombres complexes. Je pense en avoir compris l'essentiel, mais j'aimerais que vous m'aidiez à rattacher quelques ficelles. Après quelques recherches, je me suis rendu compte que l'exercice avait été traité... mais niveau terminale. Or celui-ci a été réajusté en fonction de ma fillière et est devenu un tantinet plus coriace (Prépa CPGE). Je vous l'expose :
Citation :
Notons j un nombre complexe, non réel tel que j3=1
1. Montrer que j(barre) = j². Calculer 1 + j + j²
2. Simplifier les expressions : (1+j)5, 1/(1+j²), 1/(1+j)4
3.
et 
étant deux nombres réels, montrer que
+j=0 
==0
En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur les trois réels a, b et c pour que :
a+bj+cj²=0
4. Montrer pour trois complexes distincts a, b et c
a+bj+cj²=0 (c-b)/(b-a)=j
Notons j un nombre complexe, non réel tel que j3=1
1. Montrer que j(barre) = j². Calculer 1 + j + j²
2. Simplifier les expressions : (1+j)5, 1/(1+j²), 1/(1+j)4
3.
et étant deux nombres réels, montrer que
+j=0 ==0
En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur les trois réels a, b et c pour que :
a+bj+cj²=0
4. Montrer pour trois complexes distincts a, b et c
a+bj+cj²=0
(c-b)/(b-a)=j1.
J'ai défini ce qu'était j, c'est-à-dire un nombre complexe non réel, tq x+iy avec y
0
De là on peut réécrire j3 sous sa forme exponentielle, c'est le cas pour 1. On connait le module de 1 et de j3... par contre au niveau de l'argument on ne connait pas "l'angle"
de j3 donc on va poser l'un égal à l'autre et remonter jusqu'à l'angle pour retrouver du 2
/3. De là on obtient j. Avec cette valeur j'ai pu résoudre que j(barre) est bien égale à j² sachant que les deux angles diffèrent de 2.
Problème : En quoi réécrire j3 sous sa forme exponentielle peut m'aider à trouver la valeur de j ? En clair dans ma tête je ne comprends pas la relation entre j3=e^(2i
/3)=1 et j
La somme donne facilement 0. (Utilisation de la formule d'Euler)
2. Je suis d'abord parti sur un développement basique avec les coefficients du binôme de Newton, mais mon résultat n'est pas folichon. Dois-je le poursuivre ou simplement jouer avec l'expression démontrer plus haut 1+j+j²=0 ? Que faire avec les quotients ?
3. Etant donné que j est un nombre non réel, il est forcément différent de 0. Ce qui implique que
==0
Problème : Quelle est donc la condition nécessaire et suffisante portant sur les trois réels de l'énoncé ? Vers quoi dois-je me diriger ?
4. Je flanche totalement.
Merki de votre aide.
AVC
Salut à toi ^_^,
D'après ce que j'ai compris tu as quelques problèmes sur la première question. On va donc commencer par là ^_^
On va poser j = r*exp(i) avec non nul.
Quelle est l'écriture exponentielle du nombre 1 ?
Et en prenant l'écriture de j un peu plus haut, peux-tu exprimer celle de j^3 ?
Tu te compliques un peu la vie. j est une des racines de l'unité puisque j3=1 les autres sont 1 et j² et comme le polynôme z3-1 a une racine réelle, les deux autres sont conjuguées et j(barre) = j²
donc on peut écrire j=e2i/3
on a aussi z3-1=(z-1)(z²+z+1) donc si j est solution ça donne j²+j+1=0
ta démonstration pour la 3) est curieuse, en quoi +j=0 implique ==0 parce que j n'est pas réel ?
(c-b)/(b-a)=j c-b= jb-ja ja-b(1+j)+c=0 ja+bj²+c=0 j3a+bj4+cj²=0 a+bj+cj²=0
En fait c'est la condition nécessaire et suffisante pour que le triangle d'affixe a;b;c soit un triangle équilatéral.
Bonjour
pas besoin de savoir à quoi ressemble : si
, alors
, or
1 n'a qu'une solution dans R : donc
, ou encore
. On multiplie par j² :
. comme
, il reste
.
pour 1+j+j² il n'y a rien à calculer, juste factoriser : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Comme j n'est pas réel, j-1 est non nul, c'est donc l'autre facteur qui est nul.
question 2 : 2. Simplifier les expressions : (1+j)5, 1/(1+j²), 1/(1+j)4
pense à remplacer 1+j par j² et à utiliser j^3 = 1 (ou 1+j² par -j...)
Quel engouement, merci à tous de l'intérêt que vous portez à mon exercice...
Question 1 :
Wataru :
J'ai correctement assimilé ta méthode, c'est sur ce dit conseil que mon khôlleur m'avait lancé. En fin de compte je me suis emmêlé les pinceaux pour pas grand chose. Il aurait fallu que je pose très clairement j sous sa forme trigonométrique pour bien assimiler le fait que l'angle de j était lié avec celui de j3.
Glapion :
Le coup de la racine évidente m'est en effet passé au travers des deux yeux. Par contre je ne connais pas la définition qui me dit que lorsqu'une de mes solutions est réelle automatiquement les deux autres sont conjuguées. Je pense ne pas l'avoir parmi mes outils. Qu'en est-il ? Du moins à partir de "comme le polynôme z3-1 a une racine réelle, les deux autres sont conjuguées et j(barre) = j²", je décroche.
Pour la somme j'y suis allé très rapidement en remarquant que le conjugué de j ainsi que j monté à la puissance 2 revenait à calculer la somme de j et de son conjugué, soit une formule d'euler simple qui me fait très vite arriver sur du j²+j+1=1+2cos(2/3)=0
Question 2 :
lafol :
Ah oui, pas bête. Pour le premier calcul je suis parvenu à -j. Pour le second, cela me paraît quand même trop simple. Est-ce un simple remplacement dont-il s'agit ? (-1/j) ? Pour le dernier -1/j² ?
Question 3 :
Glapion :
Hum. Alors comment l'expliquer clairement avec des mots ? Ca me paraît tellement "trivial". Pour que Jack ait 0 pomme dans les deux mains, il faut bien qu'il en ait à la fois 0 dans l'une et dans l'autre ? (Très schématisé)
Question 3/4 :
Glapion :
Pour l'ultime question, malgré mes recherches un peu partout, je n'arrive pas bien à saisir le contexte ni ce que je dois chercher/trouver. (On a même pas abordé les plans, ou bien même les triangles encore (sauf avec mes restes de terminale))
Merci beaucoup à tous.
Arthur
Oui, si une équation P(z)=0 a des coefficient réels, alors si on prend le conjugué alors et donc
est également solution.
Donc dans notre cas, si j est solution de z3-1=0, alors l'est aussi. or comme la seule autre racine c'est j², on en déduit que