Niveau Licence Maths 1e ann

[Complexe] Vérification forme cartésienne/trigonométrique

Posté par
Sharoah 11-09-16 à 11:56

Bonjour,

Révisant un peu les complexes en ce début d'année, j'aimerai avoir l'avis d'une âme bienveillante sur la résolution d'une puissance de complexe.

J'ai $(1 - i)^{27}$ .
Je pose $(1 - i)^{2} = 1 - 1 - 2i = -2i$
D'autre part $(1 - i)^{4} = (-2i)^{2} = -4$

Or $(1 - i)^{27} = ((1 - i)^{4})^{6} * (1 - i)^{2} * (1 - i)$
$= (-4)^{6} x (-2i) * (1 - i)$
$= (1 - i) * (4096 * (-2i))$
$= (1 - i) * (8192i)$
$= 8192 + 8192i$

Je trouve $|Z| = \sqrt{8192² + 8192²} = 8192\sqrt{2}$

Je déduis l'argument :

$\left\lbrace\begin{matrix} Cos(\theta) = \frac{8192}{8192\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ Sin(\theta) = \frac{8192}{8192\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right. \left\lbrace\begin{matrix} \theta = \frac{\pi }{4} \\ \end{matrix}\right.$

Je trouve donc $Z = 8192\sqrt{2}(Cos(\frac{\pi }{4}) + i.Sin(\frac{\pi }{4}))$

Es-ce correct ?

Merci d'avance

Posté par re : [Complexe] Vérification forme cartésienne/trigonométrique 11-09-16 à 12:12

$z=(1 - i)^{27}$

$\left | z \right |=\left |1 - i\right |^{27}=\left ( \sqrt{2} \right )^{27}=2^{\frac{27}{2}}$

$Arg(z)=27\times Arg(1 - i)=27\times \left (-\frac{\pi }{4}\left [ 2\pi\right ] \right )=\frac{\pi }{4}\left [2\pi\right ]$

Donc: $z=2^{\frac{27}{2}}e^{i\frac{\pi }{4}\left [ 2\pi\right ]}$

Posté par re : [Complexe] Vérification forme cartésienne/trigonométrique 11-09-16 à 12:15

Merci Razes, malheureusement, j'en suis désolé car je ne l'ai pas précisé, le but de l'exercice est de mettre sous forme cartésienne et trigonométrique le nombre complexe donné ^^

Mais je tenterai de comprendre et de retenir la méthode pour les formes exponentielles

Posté par re : [Complexe] Vérification forme cartésienne/trigonométrique 11-09-16 à 12:16

tu dois avoir une erreur de signe (1-i)²⁷ =-8192-8192i
et puis c'est un peu compliqué
il était plus simple d'écrire 1-i = 2 e^-i/4
et d'élever à la puissance 27
(1-i)²⁷ = 2^27/2e^-27i/4
= 2^27/2 (-(1+i)/2) =-2¹³(1+i)

Posté par re : [Complexe] Vérification forme cartésienne/trigonométrique 11-09-16 à 12:26

Donc:
$z=2^{\frac{27}{2}}e^{\frac{\pi }{4}\left [2\pi\right ]}=2^{\frac{27}{2}}\left (\cos\left (\frac{\pi }{4}\right )+i \sin\left ( \frac{\pi }{4}\right )\right )=\\ \\ 2^{\frac{27}{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)=2^{13}(1+i)=8192(1+i)=8192+i8192$

Ce qui correspond à ce que tu as trouvé.

Posté par re : [Complexe] Vérification forme cartésienne/trigonométrique 11-09-16 à 12:33

non pas d'accord (1-i)²⁷ =-8192-8192i il y a une erreur de signe

Posté par re : [Complexe] Vérification forme cartésienne/trigonométrique 11-09-16 à 12:35

Merci Glapion, j'ai vu où se trouvait mon erreur de signe

La solution que tu proposes est plus simple et (miracle) je vois comment on retombe sur la forme trigo du complexe. Après, comme on a pas vu les formes exponentielles dans le rappel sur les complexe en cours, j'ai composé avec les moyens du bord...

Merci encore pour vos réponses

Posté par re : [Complexe] Vérification forme cartésienne/trigonométrique 11-09-16 à 12:41

$-\frac{27}{4}=\frac{1}{4}-\frac{28}{4}=\frac{1}{4}-7$ effectivement,il manque un signe -.

$\large z=2^{\frac{27}{2}}e^{i(\frac{\pi }{4}+\pi)\left [ 2\pi\right ]}$

$z=8192(-1-i)=-8192-8192i$

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