EDIT :
2.Soit ((1+iz)/(1-iz))^n = (1+ia)/(1-ia) ou a . Montrer sans les calculer que les solutions sont réelles. Trouver alors les solutions

Merci

Bonjour.

|1+iz| = |i(z-i)| = |z-i|. De même, |1-iz| = |z+i|

Appelle A et B les points d'affixes i et -i et M l point d'affixe z.

Salut, pour la 1) :

|1+iz| = |1-iz|
|1+iz|² = |1-iz|²

En posant, z = a + ib

|1+i(a+ib)|² = |1-i(a-ib)|²
|1-b+ia|² = |1+b-ia|²
(1-b+ia)(1-b-ia) = (1+b-ia)(1+b+ia)
(1-b)² + a² = (1+b²) + a²
1 -2b + b² = 1 +2b + b²
4b=0
b = 0

L'ensemble des valeurs que peut prendre z est donc la droite d'équation, dans le plan complexe, b = 0 . Autrement dit, z doit être réel.

merci beaucoup pour la 1., j'y etais presque...
En revanche pour la 2 et 3 c'est toujours le brouillard. Pourriez vous me donner des pistes SVP ?

Pour la 2, j'ai peut-être une idée, mais je ne suis pas sûr du résultat...


On peut (peut-être) poser 1+ia = ⁿ(cos(n)+i*sin(n))
Du même coup : 1-ia = ⁿ(cos(n)-i*sin(n))

Je n'ai pas testé, mais il est sûrement possible d'aboutir à quelque chose avec ça.

Je reprends mon topic.

1°) Avec mes notations, l'égalité |1+iz| = |1-iz| devient donc :

|z-i| = |z+i| ou MA = MB
Donc, M décrit la médiatrice de [AB] : l'axe des abscisses.

2°) L'équation est donc :



On conjugue :



On inverse :



On retombe sur l'équation du début, mais avec à la place de

Cela signifie que chaque fois que est solution, est aussi solution.

Comme il ne peut y avoir au plus que n solutions : ces solutions doivent vérifier donc, ces solutions sont réelles

Pour la 2.

Les modules des deux nombres doivent être égaux.

On a module de (1+ia)/(1-ia) =1  ( 1-ia et 1+ia sont conjgués). Donc le module du membre de droite est égal à 1. Et on est ramené à la question 1.

PS: comme on fait pour écrire des fractions, des puissances, etc ?

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merci

Bonne soirée.