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Complexes

Posté par
62957 18-12-16 à 22:40

On considère les points A et B daffixes respectives 2 et -2. On définit l'application f qui à tout point M d'affixe a et différent de A associe le point M' d'affixe z'=z barre (z-2) / s barre -2.

1) a_ Déterminer l'affixe du point P' image par f du point P d'affixe 1+i

b_Montrer que les droites AP et BP' sont parallèles

C_Montrer que les droites AP et PP' sont perpendiculaires

2. Déterminer l'ensemble des points invariants par f. On cherche à généraliser les propriétés 1b et 1c pour obtenir une construction de l'image M' d'un point M quelconque du plan.

3,a Montrer que pour tout nombre complexe z,  le nombre (z-2)(z barre -2) est réel.

B_en déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2, z' +2/z-2 est réel.

C_ Montrer que les droites AM et BM' sont parallèles

4) Soit M un point quelconque non situé sur la droite AB. Généraliser le résultat de la question 1c

5) Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point M' imagerie M par f. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe 3-2i


Merci...

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 18-12-16 à 23:13

Bonjour 62957

1) a_ Déterminer l'affixe du point P' image par f du point P d'affixe 1+i

z_{P'}=\dfrac{\overline{z_P}(z_P-2)}{\overline{z_P}-2}\\\\z_{P'}=\dfrac{(1-i)(1+i-2)}{1-i-2}\\\\z_{P'}=\dfrac{(1-i)(-1+i)}{-1-i}\\\\z_{P'}=\dfrac{(1-i)(1+i-2)}{1-i-2}\\\\z_{P'}=\dfrac{(1-i)(-1+i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)}\\\\z_{P'}=\dfrac{(1-i)(-1+i)^2}{(-1)^2+1^2}\\\\z_{P'}=...

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 18-12-16 à 23:17

b_Montrer que les droites AP et BP' sont parallèles

z_{\overrightarrow{AP}}=z_P-z_A=...\\\\z_{\overrightarrow{BP'}}=z_{P'}-z_B=...

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 18-12-16 à 23:19

C_Montrer que les droites AP et PP' sont perpendiculaires

\dfrac{z_{P'}-z_P}{z_P-z_A}=...

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 18-12-16 à 23:23

2. Déterminer l'ensemble des points invariants par f. On cherche à généraliser les propriétés 1b et 1c pour obtenir une construction de l'image M' d'un point M quelconque du plan.

M'=M\\\\\Longleftrightarrow z'=z\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}=z\\\\\Longleftrightarrow\overline{z}(z-2)=z(\overline{z}-2)\\\\\Longleftrightarrow...

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 18-12-16 à 23:38

3,a Montrer que pour tout nombre complexe z,  le nombre (z-2)(z barre -2) est réel.

(z-2)(\overline{z}-2)=z\overline{z}-2z-2\overline{z}+4\\\\(z-2)(\overline{z}-2)=z\overline{z}-2(z+\overline{z})+4\\\\...

Posté par
62957re : Complexes 19-12-16 à 14:42

Merci beaucoup pour vos aides.  Je vais essayer d'améliorer mon travail.  Pouvez vous m'aider pour les questions 4 et 5.

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 19-12-16 à 16:44

Bien d'accord, mais pour cela il faudrait d'abord que tu donnes les réponses des questions que j'ai entamées...

Posté par
62957re : Complexes 21-12-16 à 12:29

Pour zp', j'ai trouvé -1-i

Posté par
62957re : Complexes 21-12-16 à 12:35

Pour zap, j'ai trouvé -1+i
Pour zbp', j'ai trouvé  1-i

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 21-12-16 à 14:02

Ok pour tes réponses qui sont correctes.

\left\{\begin{matrix}z_{\overrightarrow{AP}}=-1+i\\\\z_{\overrightarrow{BP'}}=1-i \\ \end{matrix}\right.\Longrightarrow z_{\overrightarrow{BP'}}=-z_{\overrightarrow{AP}}

Par conséquent, les droites (AP) et (BP') sont parallèles.
C'est donc terminé pour la question 1b)

Pour la question 1c), il suffit de montrer que \dfrac{z_{P'}-z_P}{z_P-z_A} est un imaginaire pur et puis conclure.

Posté par
62957re : Complexes 21-12-16 à 14:36

Merci beaucoup
Pour la 1c, j'ai trouvé 2i  , qui est bien un imaginaire pur.

Posté par
62957re : Complexes 21-12-16 à 15:03

Comment développer pour les questions 2 et e

Posté par
62957re : Complexes 21-12-16 à 15:03

2 et 3 ?

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 21-12-16 à 15:42

OK.

\dfrac{z_{P'}-z_P}{z_P-z_A}=2i\\\\\Longrightarrow\arg(\dfrac{z_{P'}-z_P}{z_P-z_A})=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\\\\\Longrightarrow\widehat{(\overrightarrow{AP};\overrightarrow{PP'})}=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{PP'}

Par conséquent, les droites (AP) et (PP') sont perpendiculaires.

Pour les questions 2 et 3, je t'ai déjà donné le début.
Qu'as-tu trouvé comme réponses à ce que j'ai proposé ?

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 21-12-16 à 15:51

Je vais encore préciser...
Pour la question 2, tu poursuis le calcul que j'ai commencé et tu dois pouvoir déduire une propriété de z.
Cela te permettra alors de trouver l'ensemble des points invariants.

Pour la question 3, tu dois démontrer que le nombre (z-2)(z barre -2) est réel.
Au stade du calcul que j'ai donné, tu dois pouvoir donner des informations sur  z\overline{z}  et sur  z+\overline{z} pour démontrer que  le nombre (z-2)(z barre -2) est réel

Posté par
62957re : Complexes 21-12-16 à 20:55

Merci encore je vais continuer

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 21-12-16 à 21:07

Allez... courage !

Posté par
62957re : Complexes 26-12-16 à 16:41

Ce n'est pas par manque de volonté mais je ne vois pas du tout où vous voulez en venir. ..

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 26-12-16 à 19:21

Ok, un coup de pouce ?

"Pour la question 2, tu poursuis le calcul que j'ai commencé et tu dois pouvoir déduire une propriété de z.
Cela te permettra alors de trouver l'ensemble des points invariants. "

M'=M\\\\\Longleftrightarrow z'=z\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}=z\\\\\Longleftrightarrow\overline{z}(z-2)=z(\overline{z}-2)\\\\\Longleftrightarrow z\overline{z}-2\overline{z}=z\overline{z}-2z\\\\\Longleftrightarrow-2\overline{z}=-2z\\\\\Longleftrightarrow\boxed{\overline{z}=z}

Quelle est la caractéristique d'un nombre complexe z qui est égal à son conjugué ?

Et donc quel est l'ensemble des points invariants ?

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 26-12-16 à 19:36

"Pour la question 3, tu dois démontrer que le nombre (z-2)(z barre -2) est réel.
Au stade du calcul que j'ai donné, tu dois pouvoir donner des informations sur  z\overline{z}  et sur  z+\overline{z} pour démontrer que  le nombre (z-2)(z barre -2) est réel"

(z-2)(\overline{z}-2)=z\overline{z}-2z-2\overline{z}+4\\\\(z-2)(\overline{z}-2)=z\overline{z}-2(z+\overline{z})+4

Si z = x + iy, alors  

z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2\Longrightarrow \boxed{z\overline{z}\in\mathbb{R}}\\\\z+\overline{z}=(x+iy)+(x-iy)=2x\in\mathbb{R}\Longrightarrow \boxed{z+\overline{z}\in\mathbb{R}}

Donc qu'en déduis-tu pour  (z-2)(\overline{z}-2) ?

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 26-12-16 à 22:32

Je continue ?
"3 b) En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2, (z' +2)/(z-2) est réel. "

D'abord, c'est du calcul :

\dfrac{z'+2}{z-2}=\dfrac{\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}+2}{z-2}=\dfrac{\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}+\dfrac{2(\overline{z}-2)}{\overline{z}-2}}{z-2}=\dfrac{\overline{z}(z-2)+2(\overline{z}-2)}{(\overline{z}-2)(z-2)}=...

A terminer évidemment...
Puis tu utilises les résultats de la question précédente.

Posté par
62957re : Complexes 28-12-16 à 15:12

Pour la 2, je peux conclure que z = z barre donc z est réel. L'ensemble des points invariants est donc réel, c'est ça?

Posté par
62957re : Complexes 28-12-16 à 15:25

Pour la 3b, j'ai trouvé
zzbarre -4 / (z barre -2)(z -2).
Nous savons que le dénominateur est réel donc l'expression est réelle

Posté par
62957re : Complexes 28-12-16 à 15:25

Et pour la suite, je ne sais pas...

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 28-12-16 à 19:22

Citation :
Pour la 2, je peux conclure que z = z barre donc z est réel. L'ensemble des points invariants est donc réel, c'est ça?

Pour être plus précis, nous dirons que l'ensemble des points invariants par f est l'axe des réels.

Citation :
Pour la 3b, j'ai trouvé
zzbarre -4 / (z barre -2)(z -2).
Nous savons que le dénominateur est réel donc l'expression est réelle

Attention, erreur de signe.

\dfrac{z'+2}{z-2}=\dfrac{\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}+2}{z-2}=\dfrac{\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}+\dfrac{2(\overline{z}-2)}{\overline{z}-2}}{z-2}=\dfrac{\overline{z}(z-2)+2(\overline{z}-2)}{(\overline{z}-2)(z-2)}=\boxed{\dfrac{z\overline{z}+4}{(\overline{z}-2)(z-2)}}

Tu signales que le dénominateur est réel.
Ok, mais il faut également signaler que le numérateur est également un nombre réel.

Citation :
C_ Montrer que les droites AM et BM' sont parallèles

Quel est le lien entre \dfrac{z'+2}{z-2} et  (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM'})  ?

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 12:13

Merci beaucoup pour vos aides.

Pour la 3c, z'+2/z-2 est réel.  

L'angle Am, bm' est donc égal au calcul ?

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 13:10

Ce n'est pas assez précis.

En fait,  \arg(\dfrac{z'+2}{z-2})=(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM'})

Puisque  \dfrac{z'+2}{z-2}\in\mathbb{R}, que vaut \arg(\dfrac{z'+2}{z-2})  ?

Et donc...

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 14:28

Si z'+2/z -2 est réel alors arg de ce calcul est aussi réel, non ?

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 14:42

Oui, d'accord mais que vaut cet argument ?

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 14:46

Je vais reposer ma question autrement.
A combien est égal l'argument d'un nombre réel ?

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 15:08

Arg réel  =0 [2pi]

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 15:15

Nous dirons plutôt : Arg réel  = 0 [pi] puisque nous ne connaissons pas le signe de ce réel.

Donc (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM'})=0[\pi]

Par conséquent, comment sont les droites  (AM) et (BM') ?

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 15:17

Am et bm' sont parallèles

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 15:21

OK et donc la question 3c est terminée.

Pour la question 4, il faut généraliser la question 1c).

Donc tu démontres que si M un point quelconque non situé sur la droite AB, alors  les droites (AM) et (MM') sont perpendiculaires.

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 15:42

Merci beaucoup.

Pour la 4, nous avons vu que ap et pp' sont perpendiculaires et que (ap,pp') = pi/2 [2pi].

Donc si Am et mm' sont perpendiculaires,  L'angle sera le même

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 16:15

D'abord, il faut démontrer que  les droites (AM) et (MM') sont perpendiculaires quel que soit le point M non situé sur la droite (AB).

Ce n'est pas parce que la propriété a été démontrée pour un point précis P que nécessairement cette propriété est vraie quel que soit le point non situé sur la droite (AB).

C'est justement l'objet de cette question 4.

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 16:20

Comment l'expliquer alors ?

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 16:27

Il faut donc démontrer que  \widehat{(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{MM'})}=\dfrac{\pi}{2}[\pi].

Pour cela il faut calculer \arg(\dfrac{z_{M'}-z_M}{z_M-z_A}).

Cela revient donc à calculer  \arg(\dfrac{z'-z}{z-2}) et montrer que c'est égal à \dfrac{\pi}{2}[\pi]

Commence par transformer l'expression \dfrac{z_{M'}-z_M}{z_M-z_A}  et démontre que le résultat est un imaginaire pur.

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 16:29

c'est-à-dire : Commence par transformer l'expression \dfrac{z'-z}{z-2}  et démontre que le résultat est un imaginaire pur.

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 19:03

Ok mais je ne sais pas l'écrire. ..

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 19:15

Pourtant la réponse finale n'est pas compliquée à écrire...

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 19:16

Qu'obtiens-tu comme résultat ?

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 20:49

Zm' -zm / zm -2 =z'-z/z-2

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 21:37

Oui, mais ce que tu m'écris est une évidence.
Tu n'as fait aucun calcul...

Pourtant, ce que je te demandais me semblait clair.

Citation :
Commence par transformer l'expression \dfrac{z'-z}{z-2}  et démontre que le résultat est un imaginaire pur.

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 21:46

Alors j'ai fait :
Z'-z/z-2 = zbarre (z-2)/z -2 = zzbarre -2zbarre -z /z -2

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 21:55

Je ne vois pas vraiment ce que tu as voulu calculer...

Voici le début du calcul :

\dfrac{z'-z}{z-2}=\dfrac{\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}-z}{z-2}=\dfrac{\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}-\dfrac{z(\overline{z}-2)}{\overline{z}-2}}{z-2}=...

Tu achèves ?

Posté par
62957re : Complexes 30-12-16 à 22:00

= (zzbarre -2zbarre /z barre -2) - ( zzbarre -2z/ z barre -2)  / (z-2)
C'est ça ?

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 22:13

Ben non...

\dfrac{z'-z}{z-2}=\dfrac{\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}-z}{z-2}=\dfrac{\dfrac{\overline{z}(z-2)}{\overline{z}-2}-\dfrac{z(\overline{z}-2)}{\overline{z}-2}}{z-2}=\dfrac{\dfrac{\overline{z}(z-2)-z(\overline{z}-2)}{\overline{z}-2}}{z-2}=\dfrac{\overline{z}(z-2)-z(\overline{z}-2)}{(z-2)(\overline{z}-2)}=...

Posté par
Hiphigeniere : Complexes 30-12-16 à 22:15

Oups, ce que tu avais écris était quand même correct mais j'avais mal lu...

Termine quand même ce que j'ai écrit.

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