Bonjour,

on peut prouver que la fraction irréductible p/q (p et q entiers) est racine d'un polynôme à coefficients entiers si et seulement si p divise le coefficient constant (ici -10) et q divise le coefficient dominant (ici 6).

Tu dois donc essayer 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2,2/3, 5,5/2,5/3,5/6,10,10/3 et leurs opposés.

Rappelle-toi ensuite que pour un polynôme complexe à coefficients réels, z est racine si et seulement si son conjugué est racine (si une racine est réelle, ce dernier résultat n'apporte donc rien, mais dès qu'on connaît une racine non réelle, on en connaît aussitôt une autre).

...malgré la clarté des explication je ne comprend pas pourquoi on trouve 1, 1/2 etc...pourquoi on ne prend pas 3 par exemple?

Parce que 3 ne divise pas -10, tout simplement.

Tu peux écrire les diviseurs p de -10 côte à côte, les diviseurs q de 6 juste en-dessous puis effectuer tous les quotients possibles p/q, tu retomberas sur ce que j'ai écrit dans mon premier message.

ohhh ok ok et ensuite que dois-je faire? (j'ai compris ta définition des racines complexes mais je n'ai pas compris son intérêt...(encore navré de ma nullité en math)

Eh bien si jamais il s'avère que ce polynôme admet deux racines rationnelles, tu peux factoriser deux fois de suite, et tu te ramènes à une équation du second degré.
Je te faisais juste un petit rappel supplémentaire au cas où ton énoncé comporterait d'autres questions!

Malheureusement, je n'ai jamais fait ce type d'exercice et pour que je comprenne, j'ai toujours besoin d'un exemple, alors si tu pouvais me donner les étapes et la réponse (en language math pas en français :p)
ça serait cool.
Merci d'avance!

Ah non c'est pas moi qui travaille, moi je guide!

Nous disions donc, première étape: quelles sont les racines rationnelles de ce polynôme?
Tu dois essayer toutes les fractions que je t'ai données, ainsi que leurs opposées.

Salut Greg

Ca va depuis le temps ?

Est-ce que tu peux me rappeler comment s'appelle ce critère déjà ? Je n'arrive plus à me souvenir du nom

Salut Kevin!

Ca va bien, merci, même si j'ai fort à faire cette année!Toi aussi?(Tu refais ta Spé?)
Sinon pour répondre à ta question, je t'avoue ne pas savoir si ce critère porte un nom!

Ok pas grave je ferai une recherche.

Non là je suis en 3/2 mais il y a des chances que je fasse 5/2 effectivement

Bonne soirée

Ah c'est bizarre, j'étais convaincu que tu étais déjà en Spé l'an dernier!
C'est sans doute parce que tu es si fort!

C'est une horreur, s'il te plaît je ne peux pas deviner, je suis nul en math et j'ai vraiment pas le temps d'essayer de comprendre, je voudrais juste la réponse pour ensuite refaire d'autres exo du même type, je suis déjà largement débordé par mon programme math et info pour rester sur un calcul de ce type pendant 3 jours...

JE comprends mais je t'avoue ne pas avoir envie de remplacer moi-même x par toutes ces fractions.
Je n'ai pas de calculatrice programmable, je suis sûr que ce sera rapide pour toi!
Donne-moi juste les fractions qui annulent P.
Ca, je ne peux pas le deviner, et il n'y a rien à comprendre pour le faire!
Je te dirai comment procéder ensuite.

Les nombres qui divisent 6 sont 2, 3, 6 ceux qui divisent -10 sont 2, 5, 10 vrai?
Ensuite comment passe t-on de là aux fractions? Ca reste encore un mystère...
Et enfin après ça, absolument pas compris ce qu'il faut faire...

Tu as oublié 1 à chaque fois.

Diviseurs p de -10 : 1, 2 , 5 , 10

Diviseurs q de 6 : 1, 2, 3, 6.

Racines rationnelles p/q possibles:

1/1 1/2 1/3 1/6

2/1 2/2 2/3 2/6

5/1 5/2 5/3 5/6

10/1 10/2 10/3 10/6


Tu vires de cette liste les fractions non irréductibles.
Tu adjoins à cette liste les opposés des fractions écrites.
Tu retombes sur les fractions de ma première réponse.

Tu rentres la fonction P dans ta calculatrice.
Tu remplaces x par chacune des fractions de la liste.

Tu gardes celles dont l'image fait 0.
Tu me donnes les résultats.

Faudrait quand même arriver à comprendre ça!Tu m'avais dit avoir compris pour les fractions en plus!

Salut tout le monde

Salut Guillaume, lol et bonne nuit!!

Oui bonne nuit !

_{Et désolé yourgod2000}

Oh ok merci Tigweg, bon j'ai compris par contre je trouve qu'une seule solution c'est le 2/3, c'est normal?

Eh bien je te crois sur parole, bien que j'aurais pensé qu'il y avait deux racines rationnelles.

Tu peux donc factoriser ton polynôme par (z- 2/3), ou plus simple par (3z - 2).
Qu'obtiens-tu?

Je vois pas comment on peut factoriser ce polynôme par z-2/3?
Aussi, pour les fractions rationnelles, il y a tellement de calculs à faire que j'ai pu me tromper^^

On peut toujours résoudre une equation du 4 ème degré par la méthode Ferraris, elle est rappelée ici :
polynomes

ici, on peut aussi faire ceci : (mais ce n'est pas fort "honnète" ) :

6z^4 - 25z³ + 32z² + 3z - 10 = 0

6z^4 + 3z³ - 28z³ - 14z² + 46z² + 23z - 20z - 10 = 0

3z³(2z + 1) - 14z²(2z + 1) + 23z(2z + 1) - 10(2z + 1) = 0

(2z + 1)(3z³ - 14z² + 23z - 10) = 0

(2z + 1)(3z³ - 2z² - 12z² + 8z + 15z - 10) = 0

(2z + 1)[z²(3z - 2) - 4z(3z - 2) + 5(3z - 2)] = 0

(2z + 1)(3z - 2)(z² - 4z + 5) = 0

...

J'ai compris ce que tu as fait mais je n'ai pas compris comment tu l'as fait...comment sais-tu qu'il faut mettre par exemple (-14z² + 46z²) et pas (14z² + 18z²)
On peut le trouver par tâtonnement mais je ne vois pas comment on le trouve autrement :s

J'ai commencé par signaler la méthode de Ferraris (qui est rigoureuse et marche à chaque fois).

L'autre manière indiquée a été qualifiée de "pas honnète" parce que c'était le cas dans la manière utilisée.

Sachant par avance (calculette) que -1/2 et 2/3 étaient solutions, je savais qu'on pouvait factoriser par (2z+1) et par (3z-2)...
C'est alors un jeu d'enfant d'arranger les termes du polynome pour arriver à cette factorisation.

Cependant, tu pouvais y arriver par la méthode suggérée par Tigweg.
Par la méthode de Tigweg, tu avais trouvé que 2/3 était solution, tu aurais du trouver aussi que -1/2 était solution.
Tu ne l'a pas trouvé car dans le message de Tigweg du 17-02-09 à 22:54, il a oublié de mentionner les fractions négatives qu'il faut aussi essayer.

..je sais pas..je pense pas que ce soit un jeu d'enfant d'arranger les termes du polynôme mais bon...en plus de cela je vois pas le lien entre -1/2 (ou 2/3) et 2z+1 (ou 3z-2)...
Tout cela est évident pour quelqu'un de bon en math pas pour quelqu'un de mauvais comme moi...

Si, le lien est évident.

si -1/2 est solution c'est que le polynome est factorisable par (z - (-1/2)) soit par (z + (1/2))
soit encore par (1/2)(2z + 1) ---> donc par (2z+1)

si 2/3 est solution c'est que le polynome est factorisable par (z - (2/3))
soit encore par (1/3)(3z - 2) ---> donc par (3z-2)

OK ?

Ah ouai évident!
Bon tant pi je demanderais à une nana de ma classe qu'est balèze en math merci tout le monde

Salut J-P!

Mais si, j'avais bien signalé qu'il fallait aussi prendre les fractions négatives, la preuve en images:

Ah oui, tout est bien.