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Posté par ninoune87
Bonjour,
j'ai un exercice sur lequel je bloque, j'ai réussi la première question mais j'arrive pas à déduire de mes résultats pour trouver les réponses aux suivantes, pouvez vous m'aider?
voici l'énoncé:
"1) a) A l'aide de la formule d'Euler, montrer que e^ip+e^iq= 2cos ((p-q)/2)*e^i^p+q/2 ( désolé pour l'écriture je sais pas trop comment bien le présenter ...)
b) en déduire cosp+cosq et sinp+sinq en fonction de cos (p-q)/2 , cos(p+q)/2 et sin (p+q)/2
2) en utilisant la même méthode, écrire cosp-cosq et sinp-sinq en fonction de cos (p-q)/2 , cos(p+q)/2 et sin (p+q)/2."
Voilà se que j'ai fait pour la première:
e^ip+e^iq = e^i(p+q/2 + p-q/2) + e^i(p+q/2 - p-q/2)
= e^i(p+q/2) * (e^ip-q/2 + e-^ip-q/2 )
= e^i(p+q/2) * (2cos p-q/2)
Merci d'avance et encore désolée pour la présentation de mes résultats, c'est pas top top... ^^
ça me donnerais cosp+cosq= re(e^ip+e^iq) ?
et sinp+sinq= Im(e^ip+e^iq) ?
mais après pour développer j'arrive pas à trouver en fonction de se qui est demandé...
Oui si tu prens ton egalite , et en prends la partie reelle, tu as :
A aguche:
Re(eip+eiq)=cos p + cos q
Et a droite re( ei(p+q)/2)2cos(p-q)/2)
Le cos est reel tu peux le sortir:
=2 cos(p-q)/2 re(ei(p+q)/2)
Et la partie reele de ei ben tu connais c'est cos(p+q)/2
=2cos (p-q)/2 cos(p+q)2
D'ou l'egalite finale.
Et pour les sinus tu fais pareil avec Im()
La diference est que le ei() va te faire sortir un sinus qd tu prends sa partie imaginaire
Donc si j'ai bien compris et que j'applique à sinp+sinq, ça me donne:
sinp+sinq =Im(e^ip+e^iq)*e(^i(p+q)/2)
=sin ((p+q)/2)*e(^i(p+q)/2)
Euh non.
Ton expresion c'est :
Eip+eiq=ei(p+q)/2) 2 cos (p-q)/2 ok?
Tu prend les parties imagianire a gauche et a droite
A gauche ca te donne:
Im (eip+eiq)=sin p + sinq (j'espere que tu comprends ca....)
Et a droite
im ( ei(p+q/2) 2 cos (p-q)/2)
2 cos (p-q)/2 est un nombre reel donc il peut sortir comme coeffcient
= 2 cos (p-q)/2 Im ( ei(p+q)/2)
Et le Im il vaut Sin(p+q)/2
D'ou
2 cos (p-q)/2 sin (p+q)/2
D'ou l'egalite
Tu compre la logique?
Il faut bien connaitre les partie reellees et imaginaires et le smanipuler c'est tout
j'ai compris ! merci !!!
effectivement vu que je faisais pas le lien entre e^(i(p+q)/2) et les parties réelle et imaginaire ça pouvais pas fonctionner....
En tout cas merci pour ta patience et tes explications ! 
Oui l'astuce est la, eix est un nombre complexe donc il peut generer une partie reelle et une partie imaginaire.
Apres il faut manipuler tout cas et tres attention aux raccourcis , notamment si tu as des multiplication ( ou les "i" peuvent s'anuler pour donner un reel)
Exemple si tu prend la partie reelle de eix*eiy
C'est bien cosxcosy -sinxsiny car il y a des "i" qui entre en jeu.
Ce n'est surtout pas cosxcos y comme on pourrait le penser en allant trop vite...lol
A+