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Condition nécessaire et suffisante

Posté par
Ramanujan 27-02-19 à 14:07

Bonjour,

Soit n \in \N^*. Donner une condition nécessaire et suffisante sur le complexe a pour que l'équation (\dfrac{1+ix}{1-ix})^n=a possède n solutions réelles.

Condition nécessaire : soit x_0 une solution de (E)

On a alors : |a| = |(\dfrac{1+ix_0}{1-ix_0})^n| = (\dfrac{|1+ix_0|}{|1-ix_0|})^n = 1^n =1

Mais comment savoir s'il y a d'autres conditions nécessaires que j'ai oublié ?

Posté par
lionel52re : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 14:28

Le principe est de résoudre l'équation et de voir quand est-ce qu'il y en a n réelles, là t'as pas fait grand chose

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 14:44

D'accord pour la condition suffisante :

Comme : |a|=1 on peut écrire a sous forme trigonométrique : a=e^{i \alpha}

On obtient : \dfrac{1+ix}{1-ix} = e^{i \theta_k} où : \theta_k= \dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2 k \pi}{n} avec k \in [|0,n-1|]

Ce qui donne : x(1+e^{i \theta_k})=i (1-e^{i \theta_k})

Maintenant je cherche à étudier le cas d'égalité :

\theta_k \equiv \pi [2 \pi] pour pouvoir diviser par 1+e^{i \theta_k}

\theta_k \equiv \pi [2 \pi] \Leftrightarrow \exists q \in \Z : \dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2 k \pi}{n} = \pi + 2 q \pi \Leftrightarrow \exists q \in \Z : \alpha = 2 \pi (q-k) + n \pi

Or : e^{i \alpha} = e^{2i \pi (q-k)} e^{i n \pi} = (-1)^n

Il faut donc la condition : a \ne (-1)^n

Posté par
etniopalre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 14:53

Soient  c := exp(2i/n et    S(a) l'ensemble formé des z [ \  { -i }  tels  que  ((1 + iz)/(1 - iz))n = 1  .

  1.
        Si  z S(a)   il existe donc    k { 1 , ....,n} tel que   (1 + iz)/(1 - iz)  = c k .
     ....
2.
....

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 15:04

Je trouve les solutions de la forme :

x_k = \tan (\dfrac{\alpha}{n} +\dfrac{k \pi}{n})   avec k \in [|0,n-1|]

Mais je n'arrive pas à démontrer que les solutions sont 2 à 2 distinctes

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 15:05

Petite correction :

x_k = \tan (\dfrac{\alpha}{2n} +\dfrac{k \pi}{n})   avec k \in [|0,n-1|]

Posté par
lionel52re : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 15:14

tan fonction strictement croissante sur blabla

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 15:21

0 \leq \dfrac{k \pi}{n} \leq \pi - \dfrac{\pi}{n}

Donc : \dfrac{k \pi}{n}  \in [0, \pi[

Le \dfrac{\alpha}{2n} on s'en occupe pas, il ne fera que translater...

La fonction tangente est strictement croissante sur [0, \dfrac{\pi}{2}[ \bigcup ]\dfrac{\pi}{2},\pi[

Mai ce qui me gêne c'est que ce n'est pas un intervalle je vois pas comment contourner le problème....

Posté par
luzakre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 17:58

Et si tu prenais -\alpha-\dfrac n2<k<-\alpha+\dfrac n2 : il n'y a aucune religion qui impose que k soit un entier positif !

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 19:32

Je n'ai pas compris Luzak.

J'ai trouvé mes solutions avec k \in [|0,n-1|]

Posté par
lafol Moderateurre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 20:42

bonjour

Ramanujan @ 27-02-2019 à 15:21



La fonction tangente est strictement croissante sur [0, \dfrac{\pi}{2}[ \bigcup ]\dfrac{\pi}{2},\pi[



ça c'est grossièrement faux .... (comparer tan(pi/4) avec tan(3pi/4)pour s'en convaincre)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 20:54

Bonjour,
Oui, parler de monotonie sur autre chose qu'un intervalle est à éviter...

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 21:04

L'union est fausse je me suis trompé mais sinon je vois toujours pas comment faire

Posté par
luzakre : Condition nécessaire et suffisante 27-02-19 à 23:03

Encore une fois : POURQUOI tu as choisi cet encadrement pour k ?
Ce n'est pas indispensable.
Enlève tes œillères et regarde ce que je propose : tu les as tes n réels distincts.

Je te vends un mystère : mon choix n'est pas du hasard, j'ai simplement écrit que les arguments de la fonction tangente restent entre \dfrac{-\pi}2,\;\dfrac{\pi}2.

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 02:51

Cet encadrement vient de la résolution de l'équation (d'après mon cours ) :

Z^n =a=e^{i \alpha} qui a comme solution : Z_k= \exp(\dfrac{i \alpha}{n }) \times  \exp(\dfrac{2 i k \pi}{n })  

Avec k \in [|0,n-1|]

Toujours pas compris votre solution.

Posté par
luzakre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 08:13

Bon alors merci de demander à ton cours :
POURQUOI a-t-il choisi cette famille d'entiers ?
S'il te répond : "il n'y a que celle-là ! " tu fais un autodafé (attention quand même au bilan carbone).

Sinon tu réfléchis !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 08:32

Bonjour,
Deux choses :

Ton cours donne une manière parmi d'autres d'écrire les n solutions de Zn = ei .
Cette manière choisit de prendre 2k/n dans l'intervalle [0;2[ d'amplitude 2 .
0 2k/n < 2 0 k < n .
N'importe quel autre intervalle d'amplitude 2 convient pour écrire ces mêmes n solutions.
Par exemple - 2k/n < -n/2 k < n/2 .

Plutôt que de chercher à mettre tes /2n + k/n dans ]-/2;/2[ , je propose de démontrer que tes xk sont tous distincts en utilisant cette propriété :
tan = tan = + h avec h

Rappel : x_k = \tan (\dfrac{\alpha}{n} +\dfrac{k \pi}{n}) avec k \in [|0,n-1|]
xk = xk' \tan (\dfrac{\alpha}{n} +\dfrac{k \pi}{n}) = \tan (\dfrac{\alpha}{n} +\dfrac{k' \pi}{n})
xk = xk' \dfrac{\alpha}{n} +\dfrac{k \pi}{n} = \dfrac{\alpha}{n} +\dfrac{k' \pi}{n} + h\pi avec h dans
Il est facile de démontrer que h = 0 et donc k=k' .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 08:41

Bonjour luzak,
Nous nous sommes croisés
J'ai un doute sur

Citation :
Et si tu prenais -\alpha-\dfrac n2<k<-\alpha+\dfrac n2 : il n'y a aucune religion qui impose que k soit un entier positif !
Il manque un 2 sous les ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 08:48

D'ailleurs j'ai mal choisi pour xk
C'est 2n sous : x_k = \tan (\dfrac{\alpha}{2n} +\dfrac{k \pi}{n}) avec k \in [|0,n-1|]

Posté par
luzakre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 11:15

Bonjour Sylvieg !
Merci d'avoir relevé mon erreur ! Tu as raison, c'est \dfrac{\alpha}{2\pi} à la place de \alpha dans mes encadrements à la place de \alpha.

Mais je pense que l'indication "argument de la fonction tangente entre \dfrac{-\pi}2,\;\dfrac{\pi}2 " aurait dû permettre à Ramanujan de rectifier tout seul. Mais "pas compris" reste plus facile comme réponse !

Il finira par avoir ce qu'il cherche : plus de réponse du tout !

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 13:00

@Luzak

C'est la démonstration des racines n-èmes de l'unité. Mais vous avez raison ça marche pour tout k \in \Z en fait.

On trouve que l'ensemble des racine n-ième de 1 est l'ensemble :

\{ \exp(\dfrac{2 i k \pi}{n}) , k \in \Z \}

Soit k \in \Z. Effectuons la division euclidienne de k par n :

\exists q \in \Z , k=nq+t avec 0<t<n

On a alors : x_k =\exp(\dfrac{2 i (qn+t) \pi}{n})=\exp(\dfrac{2 i t \pi}{n}) \exp(2 i q \pi)=\exp(\dfrac{2 i t \pi}{n})=x_t  

Ainsi l'ensemble des racines n-ième de l'unité est :

On trouve que l'ensemble des racine n-ième de 1 est l'ensemble :

\{ \exp(\dfrac{2 i t \pi}{n}) , t \in [|0,n-1|] \}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 13:46

Oui Ramanujan,
Inutile de nous refaire la démonstration.
Par contre, ce serait bien que tu comprennes que les entiers de 0 à n-1 est un choix.
On peut aussi choisir les entiers de 2019 à 2018+n .

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 13:47

Syviel ça marche nikel votre méthode

On arrive à : k=k'+nh où h \in \Z

On a : - (n-1) \leq k-k' \leq (n-1) soit : |k-k'| \leq n-1

k-k' ne peut être un multiple de n que si h=0 soit k-k'=0 Enfin on a montré : k=k'

Concernant la méthode de Luzak, j'ai retrouvé la solution :

- \dfrac{\alpha}{2 \pi} - \dfrac{n}{2} < k < - \dfrac{\alpha}{2 \pi} + \dfrac{n}{2}

Mais ça m'a l'air compliqué non ? Comment sait-on combien y a d'entiers dans cet intervalle ?  
Puis ]- \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{pi}{2}[ est un intervalle d'amplitude \pi, pas 2 \pi
J'ai du mal concernant cette méthode

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 14:00

Sylvieg @ 28-02-2019 à 13:46

Oui Ramanujan,
Inutile de nous refaire la démonstration.
Par contre, ce serait bien que tu comprennes que les entiers de  0 à n-1  est un choix.
On peut aussi choisir les entiers de  2019  à  2018+n .


Ah donc dans [0,2\pi[ j'ai n solutions distinctes correspondant à k \in [|0,n-1|]

Comme : \exp(\dfrac{2 i k \pi}{n}) = \exp(\dfrac{2 i k \pi}{n})\exp(2 i \pi)

J'ai aussi n solutions dans : [2 \pi , 4 \pi [

Mais j'ai pas compris pourquoi dans ]-\dfrac{ \pi}{2},\dfrac{ \pi}{2}[ on a des solutions distinctes....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 16:30

Attention, ne pas tout mélanger et préciser de quelle équation on parle.

Pour (\dfrac{1+ix}{1-ix})^n=a il y a n solutions dans si a \ne (-1)^n
Il y a une infinité de manières de les exprimer.

Pour Zn = 1 , il y a n solutions dans .
Il y a une infinité de manières de les exprimer.

Posté par
luzakre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 16:57

Citation :
Concernant la méthode de Luzak, j'ai retrouvé la solution :
- \dfrac{\alpha}{2 \pi} - \dfrac{n}{2} < k < - \dfrac{\alpha}{2 \pi} + \dfrac{n}{2}
Mais ça m'a l'air compliqué non ? Comment sait-on combien y a d'entiers dans cet intervalle ?  

Quelle est la longueur de l'intervalle ?
Combien d'entiers as-tu dans un intervalle de longueur n quand les bornes sont des entiers ?  quand les deux bornes ne sont pas des entiers ? quand l'une des bornes seulement est un entier ?
Si tu acceptais de "voir" une droite graduée tu ne poserais pas de telles questions.

.................................
Citation :

Mais j'ai pas compris pourquoi dans ]-\dfrac{ \pi}{2},\dfrac{ \pi}{2}[ on a des solutions distinctes....

La réponse a été donnée plus tôt : monotonie stricte de la fonction tangente !

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 21:06

La longueur de l'intervalle vaut n je l'ai calculé.

Quand les bornes sont entières et l'intervalle fermé j'ai n+1 entiers. Si l'intervalle est ouvert il y a n-1 entiers.

Ici aucune des bornes n'est entière, là j'ai essayé sur des exemples :
I=]-2,2 ; 3,8[ on a l_I=6 et en faisant un dessin il y a 6 entiers dans l'intervalle.

Dans un intervalle ouvert de longueur n avec aucune borne entière, il y a n entier.

Mais comment saviez-vous à l'avance qu'en prenant \dfrac{\alpha}{2n}+ \dfrac{k \pi}{n} \in ]- \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}[ on aurait les n entiers k qui donnent toutes les solutions ?

Posté par
luzakre : Condition nécessaire et suffisante 28-02-19 à 23:11

Il me semble, dans des études antérieures, avoir vu la définition de la fonction "arctangente" (oui je sais, ce n'est pas dans TON livre) qui, par principe, fait de son mieux pour accepter TOUTES les valeurs pouvant être une tangente et ne pas les accepter plusieurs fois.
C'est aussi ce qu'on appelle une bijection...

Des  "grands maîtres", avant même de me connaître, ayant décidé que l'intervalle \Bigl]\dfrac{-\pi}2,\dfrac{\pi}2\Bigr[ pouvait convenir, j'ai décidé de me conformer à leur choix et n'ai pas cherché à considérer d'autres intervalles.

Mais comme tu aimes la fantaisie tu pourrais aussi chercher à encadrer tes \dfrac{\alpha}{2n}+\dfrac{k\pi}n par \dfrac{5\pi}2,\;\dfrac{7\pi}2 et, constater que tu avais encore tes n solutions.

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 00:57

Ah d'accord merci pour l'aide.

La fonction Arctan est étudiée au chapitre suivant dans le chapitre nommé "fonctions usuelles".

De toute façon la fonction tan étant \pi périodique s'il y a n racines distinctes, elles seront forcément dans un intervalles du type I_k = ] - \dfrac{\pi}{2} + k \pi , \dfrac{\pi}{2} + k \pi [

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 01:06

Pour la condition nécessaire, je n'arrive pas à démontrer que :

(L'équation possède n solution ) \Rightarrow  (|a|=1 et a  \ne (-1)^n)

J'ai juste démontré que |a|=1 mais j'arrive pas à montrer que : a  \ne (-1)^n

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 07:58

Bonjour,
Tu ne l'avais pas démontré le 27 à 14h44 ?
Sinon :
Le complexe -i n'est pas solution de (1+ix)n = a(1-ix)n .

L'équation (\dfrac{1+ix}{1-ix})^n=a est donc équivalente à (1+ix)n = a(1-ix)n .

Le degré d de cette dernière est inférieur ou égal à n .
Et d < n a = (-1)n .

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 13:42

J'ai pas compris la dernière ligne

Il faut raisonner par contraposée ?

  (|a|\ne 1 ou a =(-1)^n) \Rightarrow (L'équation ne possède pas n solutions )  

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 13:55

Ce raisonnement est-il juste ?

Supposons |a| \ne 1 ou a=(-1)^n

(1+ix)^n - (ix-1)^n =0 équivaut à :

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} i^k (1-(-1)^{n-k}) x^k =0

Le coefficient devant x^n vaut : i^n (1-1)=0

Donc le degré du polynôme est strictement inférieur à n. L'équation ne peut donc pas avoir n solutions.

Posté par
lafol Moderateurre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 14:14

La première ligne n'a rien à faire avec la suite....

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 14:16

Pourquoi ?

Pour montrer :   (|a|\ne 1 ou a =(-1)^n) \Rightarrow (L'équation ne possède pas n solutions )

Il faut bien partir de :  (|a|\ne 1 ou a =(-1)^n)  non ?

Posté par
luzakre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 15:53

Relis ce que tu as écrit !
Quelle est ton équation ?
Où vois-tu apparaître les conditions cherchées sur a ?

Si (1-\mathrm{i}x)\neq0, ton équation s'écrit (1+\mathrm{i}x)^n-a(1-\mathrm{i}x)^n=0 et maintenant tu peux t'amuser avec la formule du binôme...
Bien qu'il soit visible que le coefficient de x^n est \mathrm{i}^n(1+(-1)^na)

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 17:03

Ah d'accord. Bizarre votre coefficient n'est pas nul pour k=n... Alors qu'avec mon calcul on voit directement que c'est nul.

J'ai l'équation : (1+ix)^n =a(1-ix)^n Considérons que cette équation admet n solutions.

Par l'absurde si  a=(-1)^n alors la relation précédente s'écrit :  (1+ix)^n = (ix-1)^n
C'est une équation polynomiale de degré n-1 qui ne possède donc pas n racines. D'où la contradiction.

On a montré que si a \ne (-1)^n alors l'équation admet n solutions.

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 19:19

Je me mélange les pinceaux.

Pour montrer  l'implication :

(L'équation possède n solutions )  \Rightarrow   (|a| = 1 et a \ne (-1)^n)

On est obligé de raisonner par contraposée ?

Posté par
luzakre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 22:59

Citation :
Ah d'accord. Bizarre votre coefficient n'est pas nul pour k=n... Alors qu'avec mon calcul on voit directement que c'est nul.


Si tu ne vois pas que  (ok, il y avait erreur de signe bien visible)
Citation :

Bien qu'il soit visible que le coefficient de x^n est \mathrm{i}^n(1-(-1)^na)

est nul si et seulement si a=(-1)^n autant aller se coucher !

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 01-03-19 à 23:40

Oui aucun souci pour le calcul merci.

Mais c'est le type de raisonnement qui m'intéresse : c'est bien la contraposée ou le raisonnement par l'absurde ?

Posté par
Ramanujanre : Condition nécessaire et suffisante 02-03-19 à 15:38


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