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Condition sur les racines d'un polynôme du second degré

Posté par
TheCrock 31-10-23 à 18:44

Bonjour, je suis actuellement en train de faire mon dm, et j'arrive eu dernier exercice qui est :
Soit l'équation à coefficient complexes :
z2 + pz + q = 0

1) A quelle condition les racines de cette équation ont-elles le même module ?
2) A quelle condition les 2 racines de cette équation ont-elles le même argument ?

J'ai commencé à y réfléchir avec les formules du type  z1 + z2  = -p
et z1 * z2 = q

Mais comme cela est un exercice "difficile", je me doute qu'il y a quelque chose que je rate pour répondre à ces 2 questions.

En comptant sur votre aide,
Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 31-10-23 à 19:31

Bonjour TheCrock

\boxed{1)} je te conseille d'écrire \Large\boxed{z_1=\frac{-p-\delta}{2}~,~z_2=\frac{-p+\delta}{2}} avec \Large\boxed{\delta^2=p^2-4q}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 31-10-23 à 19:39

ainsi on pourra écrire :

\Large\boxed{|z_1|=|z_2|\Longleftrightarrow|p-\delta|=|p+\delta|\Longleftrightarrow(p-\delta)(\bar p-\bar\delta)=(p+\delta)(\bar p+\bar\delta)\Longleftrightarrow Re(\delta\bar p)=0}

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 31-10-23 à 19:42

Bonsoir, elhor_abdelali

Alors, j'ai fait cela, et je me suis rendu compte que pour qu'elles aient le même module, il fallait qu'elles soient conjuguées, donc que le discriminant soit négatif,  cad b2 < 4q

cependant, cela me parait "faible" comme réponse.

Si tu pouvais m'éclaircir un peu plus,
Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 31-10-23 à 19:52

Et donc :

\Large\boxed{|z_1|=|z_2|\Longleftrightarrow\underline{ou}\left\lbrace\begin{array}l p=0 \\ p\neq0 ~\underline{et}~\frac{\delta}{p}\in i\mathbb R \end{array}\Longleftrightarrow\underline{ou}\left\lbrace\begin{array}l p=0 \\ p\neq0 ~\underline{et}~\frac{\delta^2}{p^2}\in\mathbb R_{-}\end{array}\Longleftrightarrow\underline{ou}\left\lbrace\begin{array}l p=0 \\ p\neq0 ~\underline{et}~\frac{q}{p^2}\in[\frac{1}{4},+\infty[\end{array}}

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 31-10-23 à 20:20

OK super merci, cependant, désolé de remettre en question, mais ce sont les uniques conditions pour la question ?
Comme je l'ai dit dans l'énoncé, il s'agit, sur ma feuille, d'un problème, je comprend donc mal comment peut on arriver à la conclusion si vite.

Ensuite, pour la question 2, je n'arrive vraiment pas du tout, j'y réfléchi, mais rien ne sort, je n'ai aucune piste.
Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 31-10-23 à 21:08

Citation :
...je me suis rendu compte que pour qu'elles aient le même module, il fallait qu'elles soient conjuguées,...


Eh bien non ce n'est pas nécessaire


prends par exemple l'équation \Large\boxed{z^2+(1+i)z+2i=0}

qui remplit bien la condition nécessaire et suffisante \Large\boxed{\frac{q}{p^2}=\frac{2i}{(1+i)^2}=1\in[\frac{1}{4},+\infty[}

et on trouve \Large\boxed{z_1=-\frac{\sqrt3+1}{2}+i\frac{\sqrt3-1}{2}} et \Large\boxed{z_2=\frac{\sqrt3-1}{2}-i\frac{\sqrt3+1}{2}}


qui vérifie bien \Large\boxed{|z_1|=|z_2|=\sqrt2} sans être conjuguées sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 31-10-23 à 21:48

\boxed{2)} La condition nécessaire et suffisante pour que les deux racines aient le même argument s'écrit simplement !

je te laisse montrer que \Large\boxed{arg(z_1)=arg(z_2)~[2\pi]\Longleftrightarrow\frac{q}{p^2}\in\left]0,\frac{1}{4}\right]}

comme c'est le cas par exemple pour l'équation \Large\boxed{z^2+2(1+i)z+i=0} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 01-11-23 à 10:42

Bonjour,

TheCrock @ 31-10-2023 à 18:44

J'ai commencé à y réfléchir avec les formules du type  z1 + z2  = -p
et z1 * z2 = q

Je trouve que c'était un excellent réflexe. Tu aurais pu continuer pour voir quelle relation tu dois avoir entre p et q quand
1°) z_1=\rho e^{i\theta_1} et z_2=\rho e^{i\theta_2} (z_1 et z_2 ont même module),
2°) z_1=\rho_1 e^{i\theta} et z_2=\rho_2 e^{i\theta} (z_1 et z_2 ont même argument).
Après, il reste à voir que les conditions établies sont suffisantes.

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 01-11-23 à 19:01

Ok super merci beaucoup pour vos réponses, vous m'aidez grandement.

Aussi, je m'excuse pour la réponse tardive, je me suis endormi rapidement hier et je ne me met qu'à travailler sur mon dm maintenant.

je reviendrai vers vous si j'ai d'autres questions.
Merci

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 09:34

Bonjour,
J'ai essayé d'établir les conditions que vous m'avez donné, mais je retrouve pas ce je devrai trouver.
Est-ce que vous pourriez m'aider encore un petit peu ?
Merci

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 09:37

As-tu essayé de poursuivre l'approche que tu avais essayée et que je t'ai encouragé à poursuivre, en te donnant un petit coup de pouce ?

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 09:45

Oui c'est exactement ce que j'ai essayé de faire,
j'ai gardé z1 et z2 sous la forme  z1 = -p- / 2   et z2 = -p+ / 2,

j'ai ensuite essayé de comparer quand z1 * z2 = -p  en prenant le module, mais je n'aboutit qu'a p2 + 2 = 4p

merci de votre aide

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 10:58

Ben non, tu n'as pas suivi mon conseil ! Relis mon premier message.

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 13:29

j'ai donc relu votre message et fait ce que vous m'aviez suggéré de faire.
Cependant, je me retrouve avec un système :

ei(t1 + t2 = q/2
et
eit1 + eit2 = -p/

et ce qu'il me suffit juste de remplacer   par son expression que je calcule en distinguant les cas ou >0, =0 ou <0 ?

il ne me resterait plus qu'a faire la même chose pour l'argument ?

Merci

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 13:45

Ne sais-tu pas écrire e^{it_1}+e^{it_2} sous la forme ae^{ib} avec a,b des réels à déterminer ?

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 14:07

J'ai déterminé le module, je trouve (2 + cos (t1 + t2) mais je ne suis pas sur du tout.
En revanche, pour déterminer b, je n'ai aucune idée comment je dois faire, c'est peu être un gros oubli de ma part, je suis bien sur allé regardé dans mon cours, mais je n'ai rien (à mon sens) qui ressemble àà cela, ni des exercices de td.
Merci pour votre aide

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 14:09

petite correction, c'est bien (2 + cos (t1-t2) et non (t1+t2)

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 14:21

Si tu avais fait un dessin, tu aurais peut-être pensé à

\Large e^{it_1}+e^{it_2}= e^{i(t_1+t_2)/2}\left(e^{i(t_1-t_2)/2}+e^{i(t_2-t_1)/2}\right)\;.

Condition sur les racines d\'un polynôme du second degré

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 14:37

Oui effectivement j'aurais pu penser à faire un  dessin,
Mais je retrouve quand même cela par le calcul ( je me suis trompé dans le module, je trouve en réalité,  2 cos((t1-t2)/2) , (ce qu'on retrouve avec ce que vous m'avez donné).

Je reviens à mon problème,
j'ai maintenant :
2cos((t1-t2)/2) e(t1-t2)/2 = -p/



Est-ce que, puisque p est complexe, je remplace p par reix puis j'identifie le module que je remplace aussi par son expression ?

je pense que je me suis perdu dans ce que je dois trouver et surtout sur quelle variable je dois émettre une condition

Merci

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 14:42

Tu as fait une coquille dans l'expression de p en fonction de \rho, t_1,t_2. Corrige-la.
Une fois cette correction faite, une relation entre p^2 et q devrait te sauter aux yeux.

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 15:11

oui effectivement, je me corrige,
on a :
2cos((t1-t2)/2) e(t1+t2)/2  = -p/

je vous avoue que j'ai beau chercher, essayer de remplacer par une expression, mais une relation entre q et p2ne me saute pas du tout aux yeux.

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 15:47

Avec ce que tu as calculé, écris p^2= \ldots et q=\ldots (expression en fonction de t_1,t_2,\rho).

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 15:59

EH bien oui,
je trouve p2/ q = 4cos((t1-t2)/22), qui appartient donc a R,
je trouve ensuite, par encadrement, que p2/ q [0;4]
Est-ce la seule relation que je trouve ? ou y'a -t-il d'autres pistes a prendre ?

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 16:10

Le carré devrait être à l'extérieur de la parenthèse (coquille).
Tu as trouvé une condition nécessaire (partie "analyse" du raisonnement). Pour vérifier qu'elle est suffisante (partie "synthèse"), tu peux utiliser les formules donnant les racines avec le \Delta=p^2-4q.
Tu peux ensuite rejouer avec "même argument".

Posté par
TheCrockre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 17:18

Oui bien sur le carré est en dehors de la parenthèse.

Que voulez vous dire par rejouer avec les mêmes arguments

Ensuite,  j'ai continuer pour exprimer une condition afin que les deux solutions aient le même argument et je trouve :
p2/q =  (1 + 2)2 / 1 * 2

mais je ne vois pas comment je peux exprimer une condition a partir de cela,
Merci

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 02-11-23 à 17:54

Tu as une quantité réelle qui peut prendre quelles valeurs quand \rho_1 \\ et \rho_2 sont réels positifs  ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 06-11-23 à 08:18

Bonjour,
Dommage que TheCrock n'ait pas donné suite.
L'exercice est intéressant.
Pour 1), je propose une variante de la méthode somme-produit qui évite le passage par \Large e^{it_1}+e^{it_2}= e^{i(t_1+t_2)/2}\left(e^{i(t_1-t_2)/2}+e^{i(t_2-t_1)/2}\right).

Si z' = r eit et z" = r eiu avec r réel positif ou nul sont les solutions (confondues ou pas)
alors
q = z'z" = r2 ei(t+u)
-p = z'+z" = r (eit + eiu)
p2 = r2 (e2it+e2iu+2ei(t+u))

Soit a = ei(t+u) ; a est un complexe non nul.
Et b = e2it+e2iu+2ei(t+u)
Puis k = b/a = 2 + 2cos(t-u)
p2 = kq avec k réel et 0 k 4.

La réciproque se fait, peut-être en séparant le cas k = 0.

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 06-11-23 à 09:17

Sylvieg, au lieu de diviser par e^{i(t_1+t_2)/2} avant élévation au carré, tu divises par e^{i(t_1+t_2)}  après élévation au carré. Évitement ? Mouais ....
Pour le 2), juste un petit pas après le point où TheCrock était arrivé :

\Large \frac{p^2}q= \frac{(\rho_1+\rho_2)^2}{\rho_1\rho_2}= 4+ \frac{(\rho_1-\rho_2)^2}{\rho_1\rho_2}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 06-11-23 à 11:01

Oui, j'élimine \; r \; sans supposer qu'il est non nul ; donc sans supposer \; q \; non nul.

Pour 2), on peut imposer q non nul pour que les arguments existent.

Posté par
GBZMre : Condition sur les racines d'un polynôme du second degré 06-11-23 à 15:18

Ma remarque ne portait pas sur l'élimination de r, mais sur ton "évite le passage par". Je ne comprends pas ton histoire d'éliminer r. On établit la relation p^2=kq avec k réel vérifiant 0\leq k\leq 4 et c'est tout.
Je suis d'accord que pour 2) il vaut mieux mettre à part le cas q=0. On établit dans ce cas la relation p^2=kq avec k réel vérifiant 4\leq k.
Dans les deux cas, pour montrer que la condition obtenue est suffisante, on pose p=-\sqrt{k} u où u^2=q et on regarde ce qui se passe pour les racines \frac12(\sqrt{k}\pm \delta)u où \delta^2=k-4.


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