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Niveau Maths sup
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conditions d'alignement

Posté par
vector
24-09-17 à 12:57

Bonjour,
Je dois déterminer les complexes z tels que les points d'affices z, z2 et z4 soient alignés.
Donc je suis parti du fait que les pointe M1(z), M2(z2) et M3(z4) sont alignés si et seulement si les vecteurs \vec{MM_{2}} et
\vec{M_{1}M_{3}}
Sont alignés, c'est à dire si et seulement si \frac{z^{4}-z}{z^{2}-z} appartient à R( car z est différent de z2) ou bien si z=z2

Et là je suis bloqué. Une condition pour que \frac{z^{4}-z}{z^{2}-z} appartienne à R est qu'il soit égal à son conjugué mais après je ne vois pas comment faire.

Posté par
Glapion Moderateur
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 12:59

Déjà tu pourrais simplifier ta fraction !

Posté par
vector
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 12:59

Excusez- moi je voulais dire colinéaires* pas alignés

Posté par
vector
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 13:14

En simplifiant j'obtiens
1+z+z2 appartient à R ou z=z2

Posté par
Glapion Moderateur
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 13:23

Mouais, il était plus simple de partir de \frac{z^{4}-z^2}{z-z^2}
qui se simplifie en -z(z+1)
après on cherche les z solutions de z²+z+a = 0 avec a un réel
on discute suivant les valeurs de a quand est-ce que les solutions sont réelles ou complexes, etc ...

Posté par
vector
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 13:34

Je ne vois pas comment vous avez fait pour passer de z4-z/z2-z à z4-z2/z-z2
Et ensuite ce que vous avez écrit ne se simplifie pas en z2+z plutôt? À moins que je n'aie pas compris

Posté par
Glapion Moderateur
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 14:00

non je ne suis pas passé de l'un à l'autre
j'ai juste préféré dire que les vecteurs colinéaires étaient M2M4 avec M1M2

ensuite \frac{z^{4}-z^2}{z-z^2} = \frac{z^2(z-1)(z+1)}{z(1-z)}= -z(z+1) OK ?

Posté par
vector
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 14:17

Ah d'accord oui merci en effet c'est plus clair 😅  je trouve que
- si a> -1/4 alors z vaut -1-i{(\sqrt{1+4a}})/2 ou z vaut -1+i{(\sqrt{1+4a}})/2
-si a= -1/4 alors z= -1/2
- si a< -1/4 alors z= -1/4 +{(\sqrt{1+4a}})/2 ou z=-1/4 +{(\sqrt{1+4a}})/2.
Mais on me demande de déterminer ces complexes z vérifiant l'alignement. N'y a t-il pas autre chose à faire?

Posté par
etniopal
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 14:23

Calculs faits si z(z - 1) est non nuls .

0 et 1 sont solutions du problème .
Les autres vérifient  (z4 - z²)/(z² - z)  est réel càd  z + z²  réel .
Si on écrit z =x + iy ( x et y réels ) ,  ça  équivaut à   y + 2xy = 0

Posté par
Glapion Moderateur
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 14:27

z²+z+a = 0 le discriminant c'est 1-4a donc c'est a = 1/4 la valeur qui délimite les solutions

a<1/4 les solutions sont réelles
a>1/4 les solutions sont complexes mais leur partie réelle vaut -1/2
a=1/4 une seule solution qui vaut -1/2

Pour continuer :
Réciproquement si z est réel il en est de même pour z² et z4 et les solutions sont alignés sur ox.
Maintenant si z = -1/2 + ix alors z² = 1/4-x²-ix et z²+z = -1/4-x² qui est réel et z;z²etz4 sont alignés.

L'ensemble des solutions est donc la réunion des droites d'équation y = 0 et x = -1/2

Posté par
vector
re : conditions d'alignement 24-09-17 à 15:38

Ah d'accord merci beaucoup en tout cas!



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