On a donc ...

Oui mais on veut P(x₂) congru à 0 mod p carré et non p

Modulo p^2, il est congru à 0 ou p. Il suffit donc de montrer qu'il n'est pas congru à p...

Euh non, je m'emmêle, il est tard...

Oui il me semblait bien
En fait déjà il n'est pas certain que mon choix de x₂ soit le bon il est juste spécifie d'essayer un x₂ de la forme x₁ + pt

salut

calcule P(x₁ + pt), fais apparaitre P(x₁), factorise par p ou mieux encore par p² le reste .... en donnant une valeur judicieuse à t ....

Je pense que l'info sur la dérivée de P en x₁ non nulle mod p ne doit pas être anodine mais je ne vois pas quoi en faire

Il semble que ...

À vrai dire je ne comprend pas trop ou ça mène car même en isolant P(x₁) je ne vois pas quoi en faire mod p² car il a beau être nul mod p il ne l'est pas mod p² pour le reste je sais qu'il est multiple de p ou même de pt mais il me faudrait du p² la aussi

Donc en calculant comme le dit carpediem, tu devrais t'en sortir, mais ça me semble pas très joli...

Disons que comme je le disais au dessus je ne comprend pas ou ça mène
Y'a un binôme de Newton a l'intérieur du polynôme on peut effectivement faire apparaître P(x₁) et un reste multiple de p mais je ne vois pas ce qu'on peut faire de tout ça mod p² car P(x₁) n'est pas nul mod p²

on va justement obtenir un facteur linéaire en t + un multiple de p²

donc t = -P(x₁)/p

et il faut montrer que ce t convient .... grâce aux hypothèses ....

P(x_1) est un multiple de p. Donc en ajoutant des p, tu finiras forcément par tomber sur p^2 = 0.

P(x_1) = kp, donc P(x_1) + (p-k)p = 0, tout ça mod p^2.

Reste à établir l'égalité de mon post de 0 h 47...

Bon voilà ce que je trouve en développant
P(x₁ + pt) = P(x₁) + pt P^'(x₁) + un multiple de (pt)²
Le fait que la dérivée de P ne s'annule pas mod p est donc sûrement utile je pense avoir saisit comme disait carpediem qu'il me reste à bidouiller les hypothèses pour trouver le bon t

Je pense avoir trouve
On pose P(x₁) = kp
Puis t = -k / P^'(x₁)
Et on vérifie donc bien P(x₁+ pt) = P(x₁) + pt P^'(x₁) = kp - kp = 0
Merci a vous deux pour votre aide et bonne nuit

P '(x₁) n'est pas nul mais 1/P '(x₁) n'a aucune raison d'être entier . Il faut raisonner dans le corps _p = /p

bonjour,
Dans ,

; et

r est inversible dans
donc r inversible dans
, tel que dans
On pose

si on pouvait ne pas donner la solution de mes DM (je n'ai pas tout lu) .... je ne suis pas contre les indications

Salut a vous deux et merci pour ces précisions cependant j'ai oublié de mentionner que je cherche une résolution de niveau début de L2 donc sans utiliser les corps finis en gros je pense que mon raisonnement est suffisant jusqu'au moment ou je passe à 1/P prime
J'ai compris le raisonnement de domorea sauf le passage de p a p carré mais si vous avez une méthode plus élémentaire suis preneur pour trouver t

Note qu'on ne te demande pas de trouver t, simplement de montrer qu'il existe.

Les gens qui connaissent la méthode de Newton pour la résolution numérique de P(x)=0 l'auront sans doute reconnue ici sous son déguisement algébrique : .

En fait si je ne dis pas de connerie tout élément à un inverse dans Z sur pZ donc il me suffit de remplacer 1/P prime de d₁ par l'inverse son inverse a la toute fin de mon raisonnement et le tour est joué non ?

Tout élément non nul, oui (Bézout dixit).

Oups désole je reprend
P^'(x₁) possède un inverse dans Z/pZ car il est non nul et que tout élément de Z/nZ est inversible si n est premier
Soit i cet élément on pose t = - k i

"tout élément de Z/nZ". Tu es têtu ! Tout élément non nul. (bis repetita placent)

Oui désole mais tu remarqueras que j'ai précisé qu'il est non nul au début de ma phrase

@ lolo271 ::: désolé ...

@GBZM  ::: merci (pour le modèle effectivement)

@lolo : éteints l'ordi banane