Niveau Reprise d'études

Construction d'une séquence de nombres premiers

Posté par
Meiosis 11-12-23 à 21:41

Bonsoir,

Je dois construire une séquence qui ne comporte que des nombres premiers de la forme $6k+1$ ( $k$ un entier naturel > 1).

J'ai pour cela utilisé le théorème de Wilson, voici ma tentative.

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Soit $k$ un entier naturel > 1.
Soit $n$ un entier tel que $n=6k-1$
Soit $r$ le reste de la division de $(n-1)!-n$ par $n+2$

Propriété : si $6k+1$ est premier, $r=3k+2$

Construction de la séquence de premiers :

On définit un nombre premier de la forme $6k+1$ tel que $6k+1=r(n)+r(n-1)$ où $r(n)$ est la séquence des restes successifs avec $r(1)=5$ et $n \geq 2$
On suppose $r(n) \ne 2$ et $r(n-1) \ne 2$

Par exemple les 25 premières valeurs de r sont :

5, 8, 11, 2, 17, 20, 23, 2, 2, 32, 35, 38, 41, 2, 2, 50, 53, 56, 2, 2, 65, 2, 71, 2, 77

Et la liste des premiers :

8 + 5 = 13 = 6(2) + 1
11 + 8 = 19 = 6(3) + 1
20 + 17 = 37 = 6(6) + 1
23 + 20 = 43 = 6(7) + 1
35 + 32 = 67 = 6(11) + 1
38 + 35 = 73 = 6(12) + 1
41 + 38 = 79 = 6(13) + 1
53 + 50 = 103 = 6(17) + 1
56 + 53 = 109 = 6(18) + 1

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La question est : est-ce que cela marche à l'infini ?

Merci.