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continue et injective=>strictement monotone
Bonjour !
je n'arrive pas a démontrer que si f: [0,1]-->R est injective et continue alors elle est strictement monotone pouvez vous m'aider ? merci 
Salut
Suppose le contraire, à savoir l'existence de a<b<c avec soit f(a)<f(b) et f(b)>f(c) ou alors f(a)>f(b) et f(b)<f(c).
Quitte à considérer -f on peut supposer qu'on est dans le premier cas.
Fais un dessin et constate l'absurdité en minorant par exemple le nombre d'antécédent de max((f(a)+f(b))/2,(f(b)+f(c))/2).
merci pour ton aide mais je n'ai pas compris comment constater l'absurdité ... peux tu me réexpliquer stp ?
merci
Dans ce cas...
Tu prends 3 points, a b et c avec a<b<c. Jusque là, ça devrait aller. Après pour les images, t'en prends une au pif pour a. Pour celle de b tu fais en sorte qu'elle soit au dessus et pour celle de c tu t'arranges pour qu'elle soit au dessous de f(b).
Essaie de faire passer une courbe injective continue par ces 3 points tu verras... Pourquoi ça plante?
je ne vois pas la différence entre une courbe injective continue d'une courbe continue car si c'est la même chose je ne vois pas ce qui plante ...
Je sais pas... Peut être que les points de la courbe dont l'ordonnée est juste au dessous de f(b) ont plusieurs antécédents... C'est pas top ça pour le graph d'une application injective...
ah oui j'ai compris merci beaucoup !
ensuite, on considère f:[0,1]-->[0,1] continue
montrer que Ef={x apprtenant à [0,1] tel que f(x)=x} est non vide
je ne vois pas comment démontrer puisque cela me semble évident ... non ?
salut
Voici une démonstration que je trouve jolie :
On définie .
g est continue sur le triangle convexe donc l'image de ce dernier par g est un connexe.
On en déduit, comme 0 ne peut pas être dans cette image, que g envoie le triangle soit sur , soit sur
ce qui conclut la preuve.
oui magique c'est le bon mot
ensuite, on considère f:[0,1]-->[0,1] continue
montrer que Ef={x apprtenant à [0,1] tel que f(x)=x} est non vide
je ne vois pas comment démontrer puisque cela me semble évident ... non ?
Id = Identité ? >> Tu veux que ce soit quoi d'autre?
on ne connait pas f(0) et f(1) ? >> C'est toi qui a l'énoncé sous les yeux, pas moi!
ben l'énoncé je te l'ai posté tel que je l'ai !
il n'y a de f(0) ni de f(1) on sait juste qu'ils sont dans [0,1]
Ben justement! Si f(0) et f(1) sont dans [0,1] il y a des chances pour que f(0)>=0 et f(1)=< 1 non? Qu'est ce que ça implique pour g?
J'ai jamais dit que g était nulle, j'ai seulement dit qu'elle s'annulait!!! C'est fondamentalement différent!!! C'est il existe x tel que g(x)=0 non pas g=0!!!
ensuite je dois montrer que Ef est fermé cad que si (x[/sub])[sub]n appretenant à N apparenant à (Ef)N et ue (xn)n appretenant à N converge vers L alors L appartient à Ef
je n'ai aucune idée et ça me semble complexe
ensuite je dois montrer que Ef est fermé cad que si (xn)n appartenant à N appartient à (Ef)N et que (xn)n appartenant à N converge vers L alors L appartient à Ef
je n'ai aucune idée et ça me semble complexe
Salut,
Rien de difficile.
On considère une suite de point fixe de f qui converge vers un réel x.
On veut montrer que x est un point fixe.
Pour tout n, .
Par continuité de f, en passant à la limite :
.
CQFD.
Pour une démonstration plus topologique, Ef est l'image réciproque de {0} par g. Or {0} est fermé et g est continue donc...
Euh, d'après toi?
Tu penses que f va être fixée sur un intervalle? Il n'y a pas de raison pour que ce soit connexe!
Montre que les éléments de Ef sont dans f([0,1]) et réciproquement que les éléments de f([0,1]) sont dans Ef.
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