salut

Amine36 @ 14-10-2019 à 20:41

Bonjour tout le monde.
Je ne comprend pas pourquoi on distingue entre les deux cas dans l theoreme suivant:
Soient (E, N) et (E′, N′) deux espaces vectoriels normés. Soient f une application définie sur un domaine D de E à valeurs dans E′. Soit x0 un point de D.
- f est continue en x0 si et seulement si limx→x0 f(x) existe. implique que la limite est f(x_0)
- f est continue en x0 si et seulement si limx→x0 x x0 f(x) existe et vaut f (x0). si L est cette limite il est nécessaire que L = f(x_0)

Merci beaucoup, mais je n'ai pasencore compris, pourriez m'expliquer la différence entre les deux assertions?

Bonsoir,

Dans la première assertion, quand x tend vers x₀  il peut prendre toute valeur , y compris la valeur x₀, donc gros problème si f(x₀) n'existe pas

Dans la seconde, x peut prendre toute valeur, sauf x₀ (c'est ce qu'on appelle la "limite épointée" voir sur le net).

larrech :

Prolonger une fonction par continuité

carpediem Je veux bien, mais alors pourquoi xx₀ dans la seconde définition?

parce que dans l'exemple du lien on ne peut pas calculer f(0, 0) avec la formule donnée pour (x, y) <> (0, 0) (division par 0)

on doit poser f(0, 0) = quelque chose

et alors on doit utiliser la deuxième définition

un exemple plus simple (peut-être) :

  et  

et on regarde la limite en 1

lim f(x) = f(1) = 0 (et ce quelle que soit la définition utilisée)

mais pour g on ne peut pas écrire cela

si maintenant on pose g(1) = 0 alors g est continue en 1
mais si on pose g(1) ... (autre que 1) alors g n'est pas continue en 1

mais dans tous les cas lim g(x) = 0 (qu'on considère 1 ou pas)

ce me semble-t-il ... et sans aucune certitude ... de ne pas avoir raison ... mais presque