Tu as bien dû essayer quelque chose, tu as bien quelques souvenirs des maths du lycée ?

Oui au lycée, j'ai bien vu qu'une fonction est continue quand elle est égal à un nombre.

Je pense qu'il faut montrer que dans l'intervale on a f(c) = 0 et donc c'est impossible car f^2(x) = 1 ou -1
Et apres il faut montrer que c'est constant avec le thm des valeurs intermediares
Donc je pense que si on n'a pas un intervalle on n'arrive pas à la même conclusion car on peut pas utiliser le thm des valeurs intermédiares

Je ne sais pas si j'étais assez claire avec mon raisonnement et si ma conclusion est juste

Bonjour

je ne fais que passer, mais peut-être déjà revoir la notion de continuité vue au lycée
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

j'ai bien vu qu'une fonction est continue quand elle est égal à un nombre.

Non : une fonction est continue constante quand elle est égal à un nombre.

Et je déteste cette formulation. Une fonction n'est pas égale à un nombre. Une fonction est une fonction, et un nombre est un nombre, on est sur 2 registres différents. C'est comme si tu disais qu'un film est égal à un roman, sous prétexte que le film est tiré de ce roman.

La formulation rigoureuse est : une fonction est constante ssi il existe un nombre y, tel que pour tout x, f(x)=y.

Pour la première question, tu évoques une certaine propriété : le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) ; oui, c'est une piste très valable... mais il faut rédiger mieux que ça.

Pour la 2ème question, si je lis ta phrase, au sens strict, tu dis : l'argument TVI ne marche plus, et donc il faut trouver un autre argument, pour justifier que f est forcément constante.
Mais je sais que tu voulais dire autre chose.
Tu voulais dire : on ne peut pas conclure, il peut y avoir des fonctions continues non constantes qui vérifient cette propriété.

Et dans ce cas, le moyen le plus simple, c'est de construire sur mesure un contre-exemple. Tu choisis un ensemble I qui n'est pas un intervalle. Tu construis une fonction f  qui vérifie les conditions imposées, et qui n'est pas constante. Et du coup, tu as une preuve que f n'est pas forcément constante.