Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Continuité dans un Espace métrique

Posté par
mousse42 02-07-19 à 18:32

Bonjour

Voici deux propositions (j'aimerais que vous vérifiez la qualité de la rédaction et la rigueur des preuves) :

Citation :
Soient $d_1$ et $d_2$ deux distances sur $E$

$\left(\forall (x_n)\subset E,\; \forall x\in E\quad \big[x_n \underset{d_1}{\longrightarrow} x \iff x_n \underset{d_2}{\longrightarrow} x\big]\right)\iff d_1, d_2\;\text{sont topologiquement équivalentes} \\$

Citation :

$(E,d)$ un espace métrique, et $f :(E,d)\to (E,d)$ un homéomorphisme
Soit $\delta$ tel que $\delta(x,y)= d(f(x),f(y))$ , montrer que $\delta$ est topologiquement équivalente à $d \\$

Démonstration de la proposition n°1

$\implies$

Soit $F$ un fermé de $E$ au sens de $d_1$ , et $x \in F$ , il existe une suite $(x_n)$ telle que $x_n \underset{d_1}{\longrightarrow} x$ , par hypothèse on a $x_n \underset{d_2}{\longrightarrow} x$ et puisque $x\in F$ , $F$ est un fermé au sens de $d_2$ , en définissant les mêmes fermés, on déduit que ces distances définissent les mêmes ouverts, elles sont donc topologiquement équivalentes.

$\\ \Longleftarrow$

Soit $x\in E$ , il existe $(x_n)\subset E$ tel que $x_n \underset{d_1}{\longrightarrow} x$ , donc pour un $\varepsilon >0$ , il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que $n>n_0,\quad x_n\in B_{d_1}(x,\varepsilon)$ , or $d_1,d_2$ sont topologiquement équivalentes. Il existe donc $\varepsilon '>0$ , tel que $B_{d_1}(x,\varepsilon)=B_{d_2}(x,\varepsilon ')$ donc $x_n \underset{d_2}{\longrightarrow} x$

Démonstration proposition n°2

$f(\lim x_n)=\lim f(x_n)=f(x)$ car $f$ est un homéomorphisme

Et $f^{-1}\left(\lim f(x_n)\right)=\lim f^{-1}f(x_n)=x$ ainsi on a :

$x_n \underset{}{\longrightarrow} x \iff f(x_n) \underset{}{\longrightarrow} f(x)$

Par la proposition n°1, ces deux distances $d,\delta$ sont topologiquement équivalentes

Merci pour vos commentaires

Posté par re : Continuité dans un Espace métrique 02-07-19 à 21:24

Bonsoir,

Pour la Proposition 1, ça m'a l'air bien (même s'il aurait été bien de préciser avant votre définition de "distances topologiquement équivalentes" pour que ce soit clair).

Pour la Proposition 2, je trouve que c'est mal rédigé.

D'abord, vous n'avez pas défini $(x_n)$ et $x$ .

Ensuite, ce serait mieux, à mon avis, d'écrire clairement les deux implications que vous prouvez, comme dans la preuve de la proposition 1, et ensuite de prouver chaque implication séparément.

Enfin, dans ce que vous avez écrit pour la preuve de la proposition 2,
- à la première ligne c'est seulement la continuité de $f$ qui sert (pas besoin de parler d'homéomorphisme) ;
- à la second ligne c'est la continuité de $f^{-1}$ et le fait que $f$ est bijective qui servent (ici on peut mentionner que ces propriétés sont vraies car $f$ est un homéomorphisme).

En fait, de la manière dont vous l'avez écrit, vous ne donnez pas l'impression d'utiliser l'hypothèse "homéomorphisme" pour la seconde ligne, alors que c'est là que ça intervient principalement.

Posté par re : Continuité dans un Espace métrique 02-07-19 à 21:51

Merci francois5
Démonstration proposition n°2 rectificatif:

Soit $(x_n)\subset E$ et $x\in E$ tels que $x_n\longrightarrow x$

Puisque $x_n\longrightarrow x$ et que $f$ est un homéomorphisme donc continue on déduit que $f(x_n)\longrightarrow f(x)$

Soit $(x_n)\subset E$ et $x\in E$ tels que $f(x_n)\longrightarrow f(x)$
$f$ étant un homéomorphisme, $f$ est bijective, la continuité de la réciproque permet d'écrire que $f^{-1}f(x_n)\longrightarrow f^{-1}f(x)$ donc $x_n\to x$

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