Ok merci !
Je vais poster ma dernière question dans un autre topic

*** message déplacé ***

Bonjour,

encore une question relative aux fonctions réciproques.
On suppose que continue strictement monotone sur I, un intervalle non réduit à un point. On pose . Alors est également continue.

Je ne sais pas le démontrer.
Il faut prouver que
Donc avec la définition :

Je vois pas trop comment faire ça !

Si j'utilise l'hypothèse de continuité pour la fonction f je sais que autrement dit :
.

Je ne vois pas comment passer de l'un à l'autre !

Bonjour

C'est le théorème de la bijection :

Bonjour

D'abord une remarque: ce que tu as écrit comme définition de la continuité de est la définition de l'uniforme continuité qui de toute façon est fausse... (il faut fixer x et choisir après)

Tu ne peux pas y arriver comme ça, parce que ici c'est très particulier... En général c'est faux que la réciproque d'une fonction continue est continue...

On commence par démontrer (entièrement) le théorème des valeurs intermédiaires:

Salut infophile
Sur wiki, ils disent que c'est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Je vois pas trop en quoi ...

Camélia, le théorème des valeurs intermédiaires je croyais que c'était :

une fonction de (intervalle non réduit à un point) dans continue.
Soient et dans , , et un réel compris entre et . Alors il existe tel que .

Non ?

Bonjour à tous

Je suis vraiment désolé d'intervenir sur ce post pour demander de l'aide car j'ai mon exercice à finir pour demain mais je ne comprends pas j'aimerais avoir de l'aide si sa ne vous derange pas
le titre est petit problèle par 00212
Merci d'avance



PS: désolé pour la gène occasioner

Oui, il prouve bien que f([a,b]) est l'intervalle d'extrémités f(a) et f(b) et se généralise immédiatement à un intervalle quelconque. L'énoncé que tu donnes dit que si f est continue, alors f(I) est un intervalle.

Ce que je dis, c'est qu'il est important de savoir que si de plus f est monotone, la réciproque est vraie... (même si on ne l'appelle pas TVI)

Ok, donc en fait, c'est un corollaire. J'ai moi d'abord montrer ce que j'énonce dans mon dernier post (à 14:41) et énonce le corollaire suivant :

est une fonction continue alors est un intervalle.

Donc finalement, pour prouver que on ne se sert pas de la monotonie ? La monotonie intervient dans la réciproque et c'est justement je crois ce qui me bloque.

Bonjour Camélia

H > Regarde dans "Homéomorphisme", tout y est.

Bonjour Kevin

Camélia, une fois avoir prouvé , pourquoi tu dis que "c'est évident pour la réciproque" ?

Oui, c'est exactement à ce genre de choses que je pensais... Il existe des bijections continues qui ne sont pas des homéomorphismes... Le théorème dont nous parlons ici est vraiment spécifiquement réel, ne serait-ce que parce qu'il utilise la relation d'ordre...

Il y a d'autres cas... Si f bijective est continue définie sur un compact, la réciproque est continue...
Le théorème de Banach: un isomorphisme continu entre espaces de Banach est un homéomorphisme!

Ok, mais moi je reste dans le cadre des fonctions numériques ! Donc bon ^^
Je vois toujours pas comment démontrer que est continue après avoir prouvé l'équivalence de Camélia

Bon, si l'équivalence est faite... est strictement monotone comme f, par définition (intervalle) donc est continue!

J'ai rien dit Je vous embête plus !

_{Devrais dormir la nuit...}

> Kevin Oui, on peut le dire comme ça, mais tu as choisi l'image qu'il falait pour la rendre surjective. Mon idée (mal rédigée) était

, f bijective, continue, et X compact entraine f homéomorphisme (et bien sur Y compact automatiquement)

Toi tu dis f injective continue sur un compact, entraine f est un homéomorphisme sur l'image. (Bien sûr c'est pareil, mais soyons rigoureux)

Ok, je vois mieux ! Je vais essayer de tout redémontrer.

Oui, merci Camélia

Le sens est dur !

Allons-y pour .

On suppose f croissante. Soit (je suppose que ce n'est pas une éventuelle extrémité de I, si c'est le cas, il faut arranger). Alors comme f est croissante, il existe des limites à droite et à gauche de y et de plus



Mais toujours parce que f est croissante, on a

et

Mais et ceci ne peut être un intervalle que si c'est-à-dire si f est continue en a.

C'est super clair ! J'ai vu une autre démonstration qui n'était pas aussi précise, merci Je suppose que pour l'existence de la limite à gauche et à droite, c'est le théorème de la limite monotone. Si tu en as une démonstration aussi précise que celle que tu viens de faire, je suis preneur !

Oui, c'est bien ce théorème.

Par exemple à droite pour une fonction croissante: Soit

Soit . Il existe a' > a tel que (définition de l'inf). Mais comme f est croissante,



et ceci prouve que

Ok !
Par contre, dans la première inclusion , est-ce bien à l'extrémité droite ?

Car si alors pour un certain et et donc et comme croît et .

Donc j'ai

Ben, oui, si x < a, on a y=f(x) < f(a), donc

Ah okkkkkkk !
Bon merci pour tout !

(re)salut

allez à coup de : (ça m'a fait une bonne révision)

après avoir montré que J est un intervalle et que f^-1 a même monotonie que f (qu'on suppose croissante):

soit XI et Y=f(X)
soit >0 tel que [X-,X+]I

posons y-=f(X-) et y+=f(X+) et posons =min(Y-y-,y+-Y)

alors pour tout y dans [Y-,Y+] on a y-<Y-<y<Y+<y+

donc f^-1(y-)<f^-1(y)<f^-1(y+) soit x-<f^-1(y)<x+

donc f^-1 est continue en Y

_{j'avais pensé à cette notion de coupure mais je ne voyais pas trop comment l'écrire proprement.... merci Camélia}

pardon c'est un grand X à la dernière ligne...

Bonjour carpediem.
Merci pour cette démonstration, mais je dois avouer qu'avec tout ce que je dois retenir, j'ai peur d'en oublier ! La démonstration de Camélia me parait plus "simple" à retenir, mais nécessite l'usage du théorème de la limite monotone que je dois donc savoir démontrer si besoin est.
Du coup, je cherche quelque chose de plus simple ! Si je peux me passer de l'usage d'un tel théorème, ça serait cool. L'implication ne peut-il pas se montrer par contraposition ? Si l'on se donne une fonction f définie sur un intervalle I, monotone et discontinue sur I, ne peut-on pas prouver qu'alors f(I) n'est pas un intervalle ?
Cela me semble possible, mais je n'y arrive pas.

on ne peut plus parler vraiment de monotonie sur quelque chose de discontinu:

prend f(x)=x sur [0,1] et x-1 sur ]1,2]

alors f est monotone sur chaque intervalle mais pas sur [0,2]

(et f(I) est un intervalle)


maintenant si I=[a,d]]d,b] où d est le point de discontinuité et f est monotone alors f(d)lim f(x) (xd⁺)

si l est cette limite et si l=f(d) alors f(I) est un intervalle
si il existe e>0 tel que f(d)+e<l alors f(I) n'est pas un intervalle

c'est ce qui est sous-tendu dans la démo de Camélia...
ce me semble-t-il...

C'est pas faux ! Mais la contraposée c'est plus précisément :
définie sur un intervalle , monotone et discontinue en un point alors n'est pas un intervalle.

Maintenant, je pense que c'est plus gênant de parler de monotonie pour une fonction discontinue en un point donné. Non ?

comme la dit Camélia:

la monotonie implique que pour tout a de I (sauf aux extrémités):
lim f(x)_xa^-f(a)lim f(x)_xa⁺

si l'une des inégalités est stricte c'est fini : tu peux intercaler un réel qui n'est pas dans f(I) qui n'est donc pas un intervalle