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Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée

Posté par
neverdoose 13-12-16 à 21:04

Bonjour, je me permets de demander de l'aide pour l'exercice suivant qui me pose quelques problèmes :

Etudier la continuité et la dérivabilité en 0 de la fonction f définie par :

f(x)=\frac{tan(x)-sin(x)}{x^2}

J'ai tenté de développer le tan pour avoir des cosinus et sinus, mais quoi que je fasse quand je calcule la limite lorsque x tend vers 0 (pour la continuité) je me retrouve avec une forme indéterminée 0/0+

Pour la dérivabilité, je ne sais pas si je bug, mais je ne comprends pas comment calculer la limite du taux d'accroissement puisque en faisant lim [f(0+h) - f(0)] / h avec h tend vers 0, on se retrouve à devoir calculer f(0) qui d'après moi n'est pas défini... Si quelqu'un peut au moins m'aiguiller svp, ça serait super sympa...
Merci beaucoup !

Posté par
lakere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 21:35

Bonsoir,

f n' est pas définie en 0.

Inutile d' aller plus loin...

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 21:39

C'est bien ce que je pensais, mais cet exercice est en DM de maths.. Je me vois mal rendre une copie avec 2 lignes "la fonction f n'est pas définie en 0, elle n'est donc ni dérivable ni continue en 0".. Ca ne ressemble pas à ce que notre professeur a pour habitude de faire.. n'y a-t-il aucun moyen de moduler la fonction, à l'aide de racine, de quantité conjuguée ou de facteur commun ?

Posté par
pgeodre : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 21:41

f(x) = (sinx / x) ((1 - cosx) / x ) (1/cosx)
ensuite limites usuelles en 0

Posté par
lakere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 21:41

Citation :
"la fonction f n'est pas définie en 0, elle n'est donc ni dérivable ni continue en 0"


C' est pourtant bien la seule réponse possible.

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 21:44

Bon... je vais essayer de lui parler pour lui présenter mon raisonnement et arriver à cette conclusion, il lui arrive de nous aiguiller. Merci pour la réponse, si quelqu'un d'autre a quelque chose à partager qu'il n'hésite pas ^^ Je répondrais demain au post pour indiquer ce que mon prof m'a dit !

Posté par
lakere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 21:47

La question à poser à ton prof:

  Que vaut f(0) ?

Ça lui apprendra à poser des exercices correctement

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 21:49

Effectivement, soit c'est un piège et ça n'est ni dérivable, ni continue, soit il a commis une erreur dans la copie de l'énoncé. Ce qui m'étonne vraiment c'est que pour l'avoir eu au college et cette année, ça n'est vraiment pas son style, pour le premier cas comme pour le second.. Affaire à suivre..

Posté par
lakere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 21:51

Tiens nous au courant...

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 22:06

Citation :
f(x) = (sinx / x) ((1 - cosx) / x ) (1/cosx)
ensuite limites usuelles en 0

Je n'avais pas vu cette réponse. Cela semble fonctionner. J'avais trouvé (sin x(1-cos x))/(cos x X x^2) mais je n'avais absolument pas pensé a décomposer..

Je trouve comme limite pour sin x/x : 1 ; pour (1-cos x)/x : 0 ; pour 1/cos x : 1 et donc finalement lim f(x) lorsque x tend vers 0 : 0 -> limite finie donc f(x) dérivable en 0.

Cependant pour la continuité comment je fais ? Dire que f est dérivable en 0 suffit-il a justifier que f est continue ?  "Une fonction dérivable en a est continue en a"

Posté par
pgeodre : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 22:12

Comme déjà dit, la question de continuité à un sens
si l'énoncé précise bien que f(0) = 0, ce qui permet d'établir
une continuité à droite et à gauche de 0.

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 22:15

Justement, ça n'est pas précisé, dois-je donc attendre demain pouvoir savoir si c'est la cas et alors étudier la continuité ? (je n'ai pas totalement saisis le sens de votre phrase, navré..).

Posté par
lakere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 22:15

Qu' elle ait une limite finie ou pas en 0, cela ne change rien à l' affaire:

  f n' est pas définie en 0 donc évidemment pas continue en 0 et encore moins dérivable en 0

Posté par
pgeodre : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 22:22

si la fonction f est définie sur IR par :

f(x) = (tan(x) - sin(x)) / x²
cette fonction n'est pas définie en 0.
Il n'y a donc pas de continuité en 0.

f(0) = 0 et
f(x) = (tan(x) - sin(x)) / x² pour x 0
cette fonction est bien définie en 0
De plus f(0) = lim f(x) en 0+ = lim f(x) en 0-
donc la fonction f est continue en 0.

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 22:32

D'accord, merci pour vos réponses, je redémontre ça de mon coté pour être sur d'avoir compris et je demande la clarification à mon professeur demain, avant de vous tenir informé !

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 22:50

Supposons que f(0)=0 et donc que je prouve la continuité, sommes-nous d'accord que x<0 ou x>0 ne change absolument rien aux différentes limites ? par exemple pour lim sin x/x, ce sera toujours 1 (admis) ? et pour 1/cos x ça fera dans les deux cas 1/1 = 1 ? (je préfère demander)

Une fois la continuité prouvée, pour la dérivabilité, quelle "version" de la fonction devrais-je étudier pour être le plus efficace ? Je me noie un peu dans mes calculs

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 23:03

J'ai finalement trouvé par moi-meme (je pense) :
En calculant la limite du taux d'accroissement, j'ai repris la fonction sous la forme (tan x - sin x) / x^2 et j'ai :

lim [f(0+h)-f(0)] / h lorsque h->0 = lim f(h)/h (si f(0)=0) = [sin h(1-cos h)] / cos h X h^3 = lim [ [sin h(1-cos h)] / cos h X h^2 ] X (1/cos h) = 0 X 1 = 0 -> limite finie -> fonction dérivable en 0.

Corrigez-moi si je me trompe ?

Posté par
lakere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 13-12-16 à 23:08

En admettant que f(0)=0, oui f est dérivable en 0

Mais f'(0)=\dfrac{1}{2}
Bref, ta limite est fausse.

Mais encore une fois, ta fonction n' est pas définie en 0 donc...

Bonne nuit.

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 16-12-16 à 23:15

Bonsoir, finalement, c'était bien un oubli de mon professeur. On a bien l'information f(0)=0. Du coup je ne comprends pas trop d'ou vient mon erreur pour la dérivée.. Pourriez-vous m'expliquer ?

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 16-12-16 à 23:19

Enfin pour revenir sur la continuité, quel intérêt de calculer en 0+ et 0-  ? Je veux dire est-ce vraiment nécessaire dans le cas présent ?

Posté par
lakere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 17-12-16 à 09:28

Pour la continuité, il n' est pas utile d' étudier la limite à droite et à gauche de 0.

On a bien \lim\limits_{x\to 0}f(x)=0=f(0)

Pour la dérivabilité en 0:

\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{\tan\,x-\sin\,x}{x^3}=\dfrac{\sin\,x}{x}\,\dfrac{1-\cos\,x}{x^2}\,\dfrac{1}{\cos\,x}

Le premier rapport tend vers 1, le second vers \dfrac{1}{2} et le troisième vers 1 lorsque x tend vers 0.

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 17-12-16 à 10:32

Merci pour votre réponse. Le seul problème pour moi se trouve au niveau de (1-cos x) / x^2. Je n'arrive pas à trouver la meme limite...  En développant cette expression j'ai sin x^2 / x^2(1+cos x), est-ce bien cela ? du coup on a (sin x / x) X (sin x / 1+cos x) X (1/x) ?

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 17-12-16 à 10:42

Ok après quelques recherches j'ai trouvé des démos expliquant les différentes limites. Normalement tous mes problèmes sont résolus ^^ Merci beaucoup. Je reviendrais ici si j'ai d'autres problèmes liés à cet exercice. Merci encore !

Posté par
lakere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 17-12-16 à 10:51

Je ne comprends rien à ce que tu écris...

Si tu veux que je te suive, il faut écrire des égalités entre expressions algébriques en utilisant des parenthèses là où il faut et sans baratin.

Par exemple ici;

Citation :
sin x^2 / x^2(1+cos x)


Je lis:

  \dfrac{\sin\,x^2}{x^2}(1+\cos\,x)

Et là:

Citation :
(sin x / x) X (sin x / 1+cos x) X (1/x)


Je lis:

  \dfrac{\sin\,x}{x}\,\left(\dfrac{\sin\,x}{1}+\cos\,x\right)\,\dfrac{1}{x}

Le mieux étant encore d' utilser \LaTeX: [lien]


Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 17-12-16 à 11:15

Oui navré j'ai été un peu pressé ahah, mais c'est bon normalement j'ai tout ce qu'il me faut

Posté par
neverdoosere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 17-12-16 à 12:06

Ok j'ai un nouveau soucis : pour la dérivabilité je suis en train de calculer la limite en 0 de \frac{1-\cos h}{h^2}

Je me retrouve à un moment avec lim en 0 de \frac{-1}{2}(\frac{cos (\frac{h}{2})}{\frac{h}{2})})
Je pose H=h/2 et je me retrouve à calculer la limite de cos H / H. D'après la démo que j'ai trouvé lim cos H / H = -1 mais comment prouver cela ? D'ailleurs est-ce démontrable en terminale ou est-ce admis ?

Posté par
Priamre : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 17-12-16 à 22:19

Limite en 0 de  (1 - cosh)/h² : tu pourrais multiplier et diviser par  1 + cosh .

Posté par
lakere : Continuité/dérivabilité tan, sin, Fonction Indéterminée 18-12-16 à 13:22

>> Priam

Je vais essayer de retenir: j' avais déjà vu mais oublié!

Merci


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