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continuité : topo

Posté par
fusionfroide 29-04-08 à 23:15

Salut

Soit X \subset \mathbb{R^n} un ensemble quelconque muni de la topologie induite. Alors l'inclusion i_X : X->\mathbb{R^n} est continue.

J'ai cette preuve :

Sur X on a la métrique induite d^X définie par : d^X(x,y)=d(x,y) pour tout x,y \in X

Alors i_x est continue équivaut à : \forall x \in X, \forall \epsilon >0, \exist \delta >0 tel que : d^X(x,y)<\delta \Longrightarrow d(i_X(x),i_X(y))< \epsilon

IL suffit pour montrer cette équivalence de prendre \delta=\epsilon car : d^X(x,y)=d(x,y) et d(i_X(x),i_X(y))=d(x,y)

Bon en fait je ne comprends pas pourquoi l'on a d(i_X(x),i_X(y))=d(x,y)

Merci ^^

Posté par
jeansebre : continuité : topo 29-04-08 à 23:42

Bonsoir FF

Sans doute parce que c'est la métrique induite: les points sont les mêmes, la distance est "la même"vu que la seule différence est qu'elle n'est valable que pour les points de X. Mais tout est pareil...

Sauf erreur.

Par ailleurs, le nom, est-ce bien l'inclusion? N'est ce pas plutot l'induction?

Posté par
fusionfroidere : continuité : topo 29-04-08 à 23:47

Salut jeanseb,

Oui ce doit-être ça !

Sinon, dans mon poly du cours j'ai bien inclusion...après il y a peut-être une erreur...genre copier/coller

Posté par
jeansebre : continuité : topo 30-04-08 à 00:00


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