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Continuité uniforme
Bonjour à tous,
J'ai un problème avec les fonctions uniformément continues.
Définition de mon cours : "Soit I un intervalle. Une fonction 'f' définie sur I est dite uniformément continue si à tout e > 0, on peut associer d > 0 tel que x, y 
I et |x - y| < d implique |f(y) - f(x)| < e." (version verbal de l'écriture mathématique que l'on trouve sur le net)
premier problème : Je ne comprends pas comment une fonction continue ne peut pas être uniformément continue. Car pour moi, il suffirait de prendre un 'e' et un 'd' adéquat afin que les conditions soit remplies. Toute les fonctions continues seraient alors uniformément continues.
second problème : Je n'arrive pas à me représenter le schéma typique du graphique d'une fonction uniformément continue. Est-ce que quelqu'un pourrait me montrer la différence entre une fonction continue non uniformément continue et une fonction uniformément continu ? j'ai trouvé ça à ce sujet : 
mais je ne comprends pas comment on peut déduire l'argument proposé (deux dernières phrases au dessus du schéma) pour la courbe rouge de la définition de la continuité uniforme.
Voilà c'est tout. Je sais que ça fait un peu beaucoup mais des éléments de réponse m'aideront certainement à mieux comprendre le reste.
Merci d'avance pour vos réponses.
Bonjour Azgard
Tu peux commencer par jeter un oeil ici ! Problème de logique ...
Kaiser
Bonjour,
si tu veux une fonction continue non uniformément continue, c'est simple, il suffit de prendre un fonction du type x->x^2 qui n'est pas uniformément continue sur R.
De meme x->1/x n'est pas uniformément continue sur ]0,+oo[
Si tu veux une représentation:
la continuité en a évoque la propriété que si x se rapproche de a, f(x) se rapproche de f(a)
l'uniforme continuité dit que si x et y sont proches l'un de l'autre, alors f(x) et f(y) sont également proches. La différence est que ixi x et y peuvent varier simultanément.
Par exemple, y=x+1 et f(x)=x^2
alors f(y)-f(x)=2x+1 et ceci croit d'autant plus que x est grand.
Autrement dit, pour un x très grand, f(y)-f(x) est aussi grand que l'on veut, ce qui signifie que l'on a une contradiction avec le fait que f(x) et f(y) sont tres proches.
Si tu es sur un compact, la continuité et l'uniforme continuité sont deux notions équivalentes.
a+
Tout d'abord encore merci à vous deux pour vos réponses mais je bloque toujours malheureusement à part si j'ai peut-être compris ... si quelqu'un pouvait me confirmé ce qui suit :
Une fonction continue non uniformément continue est une fonction tel que f(x) -> x2 ou f(x) -> sin(ex) en raison de la pente qui augment (tende vers 
) dans un de ses intervalles ?
Ce qui fait que f(x) -> sin(x) (ou prenons un cas très simple telle la fonction constante ou autre) est uniformément continue à cause que sa pente ne tende pas vers plus ou moins l'infini.
est-ce correcte ?
merci d'avance.
Azgard
Bonjour
C'est un peu abrupt! Il arrive que des fonctions ne soient pas uniformément continues même sur des intervalles bornés. Ce qu'il faut comprendre:
Si f est continue en chaque point x, alors pour tout e on trouve d tel que pour tout y on ait |y-x|
Par ailleurs, dans le lien que donne kaiser il y a des erreurs dûes (comble!) à cauchy.
Le théorème exact est "sur un intervalle fermé et borné (compact) toute fonction continue est uniformément continue" (la réciproque est toujours vraie).
Merci Camélia,
Si f est continue en chaque point x, alors pour tout e on trouve d tel que pour tout y on ait |y-x|<d entraîne |f(y)-f(x)|<e.
Mais alors il suffit de prendre un 'e' immense et un 'd' tout petit et toutes les fonctions continues seront uniformément continues ! C'est ça que j'ai du mal à comprendre.
Le théorème exact est "sur un intervalle fermé et borné (compact) toute fonction continue est uniformément continue"
Pourquoi pas les fonctions ouvertes ou semi-ouverte ?
Merci d'avance.
Azgard
Mais alors il suffit de prendre un 'e' immense et un 'd' tout petit et toutes les fonctions continues seront uniformément continues ! C'est ça que j'ai du mal à comprendre.
Avec cette idée que tu as en tête, essaye d'écrire la démonstration qu'une fonction uniformément continue est continue, tu verras ce qui cloche.
... une fonction uniformément continue est continue, tu verras ce qui cloche.
Je ne vois pas vraiment ce qui pourrait clocher puisqu'une fonction uniformément continue implique qu'elle soit continue !
J'ai dit n'importe quoi dans mon contre exemple...
En fait la continuité peut s'exprimer ainsi:
pour toute suite xn qui converge vers x
f(xn) converge vers f(x)
l'uniforme continuité s'exprime ainsi
pour toute suite (xn-yn) qui converge vers 0 f(xn)-f(yn) converge vers 0.
Notamment, prend yn une suite constante égale à un réel x
alors on voit que xn-x converge vers 0 et donc f(xn) converge vers f(x), ce qui est la définition de la continuité séquentielle (qui équivaut à la continuité dans R).
Maintenant il n'y a aucune raison d'avoir la réciproque
Un contre exemple serait celui que je te donnais:
f(x)=x^2 sur R
pose e=1 et d>0
x=1/d+d/2
y=1/d
|x-y|<d mais |f(x)-f(y)|>=e
En terme de suites;
xn=n+1/2n
yn=n
|xn-yn| tend clairement vers 0
|f(xn)-f(yn)|=1+1/n^2 et ne tend pas vers 0 (tend vers 1 par valeur sup)
Ceci est un vrai beau contre exemple (rien à voir avec l'idiotie que j'ai écrite plus haut ...)
Maintenant j'espère que c'est plus clair.
a+
Merci Otto,
j'ai bien compris tes deux exemples.
Pour moi, en simplifiant, ça donnerai : si la dérivé de 'f' n'est pas borné (bien quelle soit continue) 
'f' n'est pas uniformément continue ? (est-ce correct ?)
et en faite pour vérifier si une fonction continue est uniformément continue, il suffit d'appliquer :
xn=n+1/2n
yn=n
|xn-yn| tend clairement vers 0
|f(xn)-f(yn)|=1+1/n^2 et ne tend pas vers 0 (tend vers 1 par valeur sup)
en remplaçant f(x)->x2 par la fonction que l'on souhaite tester.
Ainsi si |f(xn)-f(yn)| -> 0 lorsque n ->
la fonction est uniformément continue et dans le cas contraire (|f(xn)-f(yn)| -> 
0) la fonction est continue mais pas uniformément continue.
merci d'avance.
Pour moi, en simplifiant, ça donnerai : si la dérivé de 'f' n'est pas borné (bien quelle soit continue)
'f' n'est pas uniformément continue ? (est-ce correct ?)Petite précision : toutes les fonctions continues mais non uniformément continue que j'ai vu jusqu'à présent confirme cette affirmation, que ce soit x2, sin(ex), ou autres.
Bonjour, je ne suis pas d'accord avec ce que tu dis:
Si |f(xn)-f(yn)| ne tend pas vers 0, tu ne peux pas savoir si la fonction est continue, mais tu sais qu'elle n'est pas uniformément continue.
Sinon pour ce qui est en rapport avec la dérivée, sache qu'une fonction uniformément continue n'est pas nécessairement dérivable ou C1...
De plus on n'a pas nécessairement l'équivalence dérivée bornée <-> fonction uniformément continue.
Cependant dans le sens que tu indiques c'est correct.
Cependant dans le sens que tu indiques c'est correct.
J'ai peut-être ma suivi mais il me semble que c'est l'autre qui est correct
Oui, tu as raison, je ne sais pas ce qui me prend...
Effectivement, la fonction racine carrée a une dérivée non bornée et est uniformément continue par exemple.
Merci stokastik, je suis un peu ailleurs ces derniers temps.
a+
Ok ... j'ai appliquer :
xn=n+1/2n
yn=n
|xn-yn| tend clairement vers 0
|f(xn)-f(yn)|=1+1/n^2 et ne tend pas vers 0 (tend vers 1 par valeur sup)
avec f(x)=x1/2 (et non x2) et j'ai bien trouver que ça tendait vers 0, donc elle est uniformément continue comme dit dans un post précédent.
j'en conclue donc, qu'il suffit juste de virifier cette propriété là pour dire si une fonction continue est unifomément continue ou non ?
merci d'avance.
j'en conclue donc, qu'il suffit juste de virifier cette propriété là pour dire si une fonction continue est unifomément continue ou non ?
quelle propriété ?
Pardon je me suis mal exprimé. Je voulais dire que si on applique cela :
par exemple pour f(x) = x2 :
xn = n+1/(2n)
yn = n
|xn-yn| -> 0, lorsque n ->
|f(xn)-f(yn)| = 1+1/(4n2) -> 1, lorsque n -> , ce qui fait quel ne soit pas uniformément continue, car |f(xn)-f(yn)| -> a, lorsque n -> , avec a 0.
avec la fonction continue souhaiter (fonction à la place de x2), on peut savoir si elle est uniformément continue (|f(xn)-f(yn)| -> a (a = 0), lorsque n -> ) ou pas (|f(xn)-f(yn)| -> a (a 0), lorsque n -> ).
J'ai cependant un problème, j'ai essayé avec f(x) = sin(ex) et je trouve que ça tend vers 0. Vous me le confirmé ou est-ce que j'ai fait une faute de calcule ?
merci d'avance.
Non non non. On peut dire que f est uniformément continue si on a |f(x_n)-f(y_n)|->0 pour toutes les suites x_n et y_n telles que |x_n-y_n|->0.
Et on peut dire que f n'est pas uniformément continue s'il existe (au moins) une suite x_n et (au moins) une suite y_n telles que |f(x_n)-f(y_n)| ne tend pas vers 0. Mais ça ne va pas forcément marcher avec la suite x_n=n+1/(2n) et la suite y_n=n.
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