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Niveau Licence Maths 1e ann
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Continuité uniforme et borne.

Posté par
Klil27
16-04-18 à 20:33

Bonjour je viens de montrer que f : x -> 1/x n'est pas uniformément continue sur (0,1).

Maintenant je dois montrer que toutes fonctions qui n'est pas borné ne peut pas être  uniformément continues .

J'ai commencé par ecrire les definitions et essayer de montrer de 3 façons :

Non-borné -> non uniformément continue.

Uniformément continue -> Borné

f  lipschitzienne -> U. Continue -> Borné. (mais on a pas vu les fonctions lip. donc je pense pas que ce soit ça.)


Mon problème est que dans la première méthode, j'arrive à des inégalités de valeurs absolues et ça me mène a rien.
Pour la deuxième manière j'essaye toujours sans succès.

Avez vous des pistes ?

Posté par
verdurin
re : Continuité uniforme et borne. 16-04-18 à 21:57

Bonsoir,
je suppose que tu parles de fonctions définies sur ]0;1[ cad l'intervalle [0;1] privé de 1et de 0.

Si la fonction n'est pas bornée sur cet intervalle elle tend (en valeur absolue) vers l'infini en 0 ou en 1.
Tu peux t'inspirer de la démonstration que tu fis pour x1/x.

Il faut remarquer que la condition « être bornée » sur ]0;1[ est nécessaire, mais pas suffisante.

Posté par
Klil27
re : Continuité uniforme et borne. 16-04-18 à 22:13

verdurin effectivement il faut montrer pour les fonctions non borné sur ]0,1[.

Cependant je n'ai pas d'autre hypothèse... qu'est ce qu'il manquerai comme condition ?

Posté par
verdurin
re : Continuité uniforme et borne. 16-04-18 à 22:44

Il n'en manque pas.
Si une fonction n'est pas bornée sur ]0;1[ elle n'est pas uniformément continue sur cet intervalle.

J'ai juste ajouté une remarque : il y a des fonctions continues bornées sur ]0;1[ qui ne sont pas uniformément continues sur ]0;1[.

Posté par
Klil27
re : Continuité uniforme et borne. 16-04-18 à 22:51

Ah okok merci, j'essaye après le travail et je vous tient au courant

Posté par
Klil27
re : Continuité uniforme et borne. 19-04-18 à 00:46

verdurin

Rebonjour, j'ai essayé en m'inspirant de ma demo pour 1/x mais il y a une lacune vers la fin:
(rappelons que je dois montrer  que il existe e >0  tel que pour tout p > 0, il existe x et y dans (0,1) tel que abs(x-y)<p et abs( f(x) - f(y) ) )
Alors soit e=1
Pour tout M>0 et N>0 on peut trouver x et y tel que f(x) > M et f(y) > N.

c'est la que je bloque... merci beaucoup pour votre aide

Posté par
jsvdb
re : Continuité uniforme et borne. 19-04-18 à 01:59

Bonjour
Je fais suite à ceci : Continuité uniforme point (ii) et je réponds ici, car le post en lien devient du multi-sujet.

Klil27 @ 19-04-2018 à 01:21

Voila les autres questions pour lesquelles j'ai du mal.
(ii) De manière générale, montrez qu'une fonction qui n'est pas bornée
sur ]0, 1[ ne peut pas  être uniformément continue sur ]0,1[.

Tu peux faire une démonstration directe :

Pour \varepsilon = 1, il existe \delta > 0 tel que pour tout  x,y \in [1-\delta; 1[, |f(x)-f(y)|<1 et donc en particulier, \sup \{|f(x)-f(y)|~/~{x,y\in [1-\delta; 1[}\}\leq 1.

Donc f est bornée sur [1-\delta; 1[.

De même, f est bornée sur ]0;\delta].

Comme f est continue sur [\delta;1-\delta], elle y est également bornée.

conclusion : f est bornée sur ]0;1[

Posté par
jsvdb
re : Continuité uniforme et borne. 19-04-18 à 02:09

Alors évidemment, je précise que l'énoncé dit exactement :
montrer que toute fonction qui n'est pas bornée sur ]0;1[ ne peut pas être  uniformément continue sur ]0;1[
et ne parle nulle part de fonction continue.

Et j'ai répondu en parlant de fonction continue sur [\delta;1-\delta].

A côté de la plaque le jsvdb ?

Juste un quart de poil de mollet de fourmi. Car bien entendu, une fonction non continue sur n'importe quel intervalle ne peut être uniformément continue.
Donc pour répondre rigoureusement il faut dire :

1- Soit la fonction n'est pas continue et c'est réglé, elle n'est pas UC, qu'elle soit bornée ou non !
2- Soit la fonction est continue et on embraye sur ma démonstration directe.

Posté par
qwertyasdfgh
re : Continuité uniforme et borne. 19-04-18 à 02:58

jsvdb

Donc, au lieu de faire :
"non bornée" implique "non uniformément continue"
tu ferais :
"uniformément continue" implique "bornée" ?

Posté par
jsvdb
re : Continuité uniforme et borne. 19-04-18 à 03:13

Oui c'est ça 🙂
Mais attention ça ne marche que parce que l'intervalle de définition est borné.

Posté par
qwertyasdfgh
re : Continuité uniforme et borne. 19-04-18 à 03:16

d'accord



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