Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau autre
Partager :

Convergence

Posté par
fusionfroide 21-02-07 à 19:46

Salut

Je dois étudier suivant 4$\alpha la convergence de 4$\int_0^1 \frac{t^{\alpha}-1}{ln(t)}dt


J'ai trouvé que cela convergeait pour 4$\alpha=1

Des pistes pour la suite ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 19:54

Tiens c'est marrant !

Avec Maple : 4$\int_0^1 \frac{t^{\alpha}-1}{ln(t)}dt=ln(\alpha+1) pour 4$\alpha \in \mathbb{N^*}

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 19:58

Bonsoir fusionfroide

Essaie dans un premier temps de montrer que ça converge au moins pour \Large{\alpha \geq 1}

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:02

Salut kaiser

Ca va ce soir ?

Je commence à étudier le problème en 1

On a directement 4$\frac{t^{\alpha}-1}{ln(t)} \approx \alpha au viosinage de 1

Donc on a déjà la convergenve en 1

Suis-je sur la bonne voie ?

PS je n'ai pas trouvé le la commande latex pour "équivalent à"

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:05

Je crois qu'on a en 0 : 4$\frac{t^{\alpha}-1}{ln(t)}=o(\frac{1}{\sqrt{t}})

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 20:20

oui ça va !

sinon ce que tu as fait est correct.
Pour ton message de 20h05, c'est toujours avec \Large{\alpha \geq 1} que tu fais ça ?
Autre chose : pour le symbole d'équivalent en \LaTeX c'est \sim

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:29

Citation :
Pour ton message de 20h05, c'est toujours avec  que tu fais ça


Oui pourquoi, ça ne marche pas ?

Je vais manger je reviens

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:48

Re kaiser !

As-tu lu mon dernier message ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 20:48

non en fait je demandais si tu faisais pour ce cas ou alors dans le cas général.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:51

ok donc j'ai suivi tes conseils et j'ai commencé par le cas 4$\alpha \ge 1

Donc j'ai réussi à prouver la convergence pour 4$\alpha \ge 1, et la divergence pour 4$\alpha=0 (est-ce utile en fin de compte ?)

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 20:52

Tu es sûr que ça diverge dans ce cas ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:53

Affirmatif, enfin vu que tu poses la question, ce ne doit pas être ça

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:54

Pardon j'ai dit une bêtise

Voilà mon erreur : t^0=t !!!!

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 20:55

Dans ce cas, tout ce qui est sous l'intégrale est nulle car \Large{t^{0}=1}
En fait, je crois qu'il y a convergence pour \Large{\alpha > -1} (maintenant, ce n'est qu'une intuition).

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:56

Citation :
Dans ce cas, tout ce qui est sous l'intégrale est nulle


Confer message de 20h53

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 20:57

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 20:58

Désolé, je dois m'absenter, je reviens tout à l'heure !
Tu est connecté jusqu'à quelle heure ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:58

Sinon tu as une idée pour traiter le cas 4$\alpha \in ]-1,0[\cup ]0,1[ ?

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 20:59

Ok !

Je vais réviser mais je repasserai un coup de temps en temps jusqu'à minuit

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 20:59

OK !dans ce cas, à tout à l'heure !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 21:00

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 21:44

Au fait, pour ton message de 20h05 : pour le cas où \Large{\alpha \geq 1} en 0, c'est un faux problème car la fonction est prolongeable par continuité.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 21:59

J'avais remarqué qu'elle était prolongeable par continuité en 1 mais pas en 0

Comment le vois-tu ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 22:04

ça tend vers 0.
le log tend vers l'infini donc son inverse tend vers 0.
Effectivement, j'ai l'impression qu'en 1, il n'y a jamais de problème et ce quelle que soit la valeur de \Large{\alpha}.
Le véritable problème se pose en 0 pour certaine valeurs de \Large{\alpha} et j'ai l'impression que mon intuition semble se confirmer.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 22:06

Oui jamais de problème en 1, par continuité et ce pour tout alpha

Maple confirme aussi ton intuition...

Mais aurais-tu des idées pour la suite du raisonnement ?

Merci

Posté par lechoriste (invité)re : Convergence 21-02-07 à 22:07

Tu peux utiliser les intégrales de Bertrand ici non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 22:10

Essaie de te débarrasser du cas où \Large{\alpha > 0} : c'est pas très difficile;

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 22:48

Donc ici tu veux travailler dans ]0,1[, le cas alpha >= 1 ayant déjà été traité...C'est bien ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 22:50

C'est ça !
Comme le propose lechoriste, les intégrales de Bertrand pourront être utiles (pour tout à l'heure).
Les as-tu déjà rencontrées ou alors veux-tu qu'on refasse les démos ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 22:54

Je les ai déjà rencontré donc pas de problème !

Sinon, pour revenir au problème dans ]0,1[ tu veux travailler avec des inégalités ?  

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 21-02-07 à 22:56

euh non plus simple !
Dans ce cas, y a-t-il vraiment des problèmes ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 21-02-07 à 23:58

Désolé de revenir si tard

Tu as encore 5 minutes devant toi ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 22-02-07 à 00:00

oui !

Posté par
fusionfroidere : Convergence 22-02-07 à 00:08



Citation :
Dans ce cas, y a-t-il vraiment des problèmes ?


Je dois être fatigué car je ne vois pas du tout !

En 0 et en 1, pas de problème puisqu'on peut prolonger par continuité !

Sinon, on peut dire que 4$\frac{t^\{alpha}-1}{ln(t)}>0 pour 4$\alpha >1 non ?

Mais ça sert à rien ?

Aurais-tu une autre piste ?

Posté par
fusionfroidere : Convergence 22-02-07 à 00:08

Lire : 4$\frac{t^{\alpha}-1}{ln(t)}>0

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 22-02-07 à 00:13

regarde simplement les limites en 0 et en 1 pour \Large{\alpha} compris entre 0 et 1.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 22-02-07 à 00:15

Oui vu comme ça ça à l'air simple

Et ça me servira à quoi en fait une fois que je les aurai trouvé ?


Je pourrai en déduire des équivalents, prolongements, non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 22-02-07 à 00:16

bon en 0 y'a aucun problème mais en 1 il faut travailler un peu plus.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 22-02-07 à 00:16

Plutôt des prolongements !

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 22-02-07 à 00:17

J'oubliais que tu avais traité tous les cas en x=1 donc il n'y a que 0 comme véritable problème.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 22-02-07 à 00:19

Ok !

Bon je te souhaite une bonne nuit et merci encore

A+

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 22-02-07 à 00:21

Mais je t'en prie !
et le cas \Large{\alpha \in ]-1,0[} ?
demain ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 22-02-07 à 00:23

oui je préfère avant que je ne dise de grosses bêtises vu l'heure !

Sinon c'est là qu'interviennet les intégrales de Bertrand ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 22-02-07 à 00:25

oui !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Convergence 22-02-07 à 00:27

ok bah je vois pourquoi alors

Mais ça sera pour demain !

Allez bonne nuit

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 22-02-07 à 00:28

Bonne nuit à toi aussi !

Posté par
fusionfroidere : Convergence 22-02-07 à 21:21

Re kaiser

Je reviens vers 23h00

Tu seras là ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 22-02-07 à 21:23

oui, normalement !

Posté par
fusionfroidere : Convergence 22-02-07 à 23:05

Re kaiser,

Je calcule les limites et te dit ce que je trouve

Posté par
fusionfroidere : Convergence 22-02-07 à 23:09

Pour 4$\alpha \in ]0,1[, on a 4$\lim_{t\to 0} \frac{t^{\alpha}-1}{ln(t)}=0

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !