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Convergence,Absolue,Semi??!!

Posté par
robby3 12-04-07 à 15:04

Bonjour à tous,me revoilà plus désemparé que jamais à la vu d'intégrales dont je n'arrive pas à determiner leur nature.

Avant de vous donner les intégrales en question pour qu'on y réfléchissent,je fais un ti point de cours pour mettre mes idées au clair:

\rm Soit f une fonction continue sur [a,b[.Si l'integrale impropre \\ \fbox{\Bigint_a^b|f|} est convergente \\ alors \Bigint_a^b f est \fbox{absolument convergente}. \\ \\ On dit que l'integrale de f est \\ \fbox{semi-convergente} si \Bigint_a^b f converge mais \fbox{\Bigint_a^b |f| diverge}

Maintenant voyons les intégrales dont il faut déterminer la nature: absolument convergentes,semi-convergentes.

\rm a)\Bigint_1^e \frac{dx}{ln(x)} \\ \\ b)\bigint_1^{\infty} \frac{dx}{ln(x)} \\ \\ c)\Bigint_0^1 \frac{ln(x)}{sin(x)}dx \\ \\ d)\Bigint_0^{\infty} ln(x).sin(x) dx \\ \\ e)\bigint_0^1 sin(\frac{1}{x}).ln(x) dx \\ \\ f)\Bigint_0^{\infty} \frac{\sqrt(x)dx}{ln(1+x).sin(\frac{1}{x})}

voila voila...


pour la a et la b) malgré les précieux conseil de Romain  et Elhor...la seule idée de changement de variable que j'ai eu idée (étant donné le ln(x) en bas...) c'est u=ln(x)...ça m'a donné du exp(u)/u à intégrer entre 0 et 1 (pour a) et je suis encore plus embété...

quelqu'un a une piste??


merci d'avance.

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:08

re robby

oui, c'est bien ça pour le ti point de cours.
maintenant, tu vois qu'il y a équivalence entre la semi-convergence et la converge absolue dans le cas des fonctions à signe constant ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:09

Pardon Kaiser...bah si la fonction est tut le temps positive ou tout le temps négative oui,je vois bien...du moins je crois bien.

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:11

par exemple pour la a) on peut le dire je pense.

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:14

Pourquoi pardon ?

Sinon, pour s'attaquer à une intégrale, il faut déjà voir où sont les éventuels problèmes et si ce ne sont pas de faux problème (par exemple, la fonction est prolongeable par continuité).
Ensuite, si ta fonction est de signe constant au voisinage du point à problème, on essaie de voir s'il n'y pas d'équivalent simple.

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:21

non j'ai dis pardon parce que je m'en sens ultra mauvais dans ce domaine...
bref,

alors voila une méthode que tu me donnes:
\rm \red \fbox{ \\ 1)regarder ou sont les problemes \\ 2)regarder si la fonction est prolongeable par continuite \\ 3)regarder le signe de la fonction au voisinage des point qui posent problemes. \\ 4)si la fonction est de signe constant on cherche un equivalent simple.}

ok je prend note.

Pour a) le probleme est en 1.
la fonction n'est pas prolongeable par continuité car limite x->1 de 1/ln(x) différent de 1.

le signe de la fonction est constamment positif sur [1,e].

mais ici on ne peut pas encore trouver un équivalent simple si?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:28

Je ne comprends pas quand tu dis que la limite est différente de 1 ?

Kaiser

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:30

Le problème est en 1 : pour des équivalents passe en 0 : si x tend vers 1, pose x = 1+t pour avoir t qui tend vers 0

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:30

mais pour prolonger par continuité, ne faudrait-il pas que
\lim_{x\to{1}} \frac{1}{ln(x)}=1?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:32

Peu importe la limite, du moment qu'elle est finie.

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:39

Lafol> x=1+t,dx=dt

\rm \Bigint_{0}^{e-1} \frac{1}{ln(1+t)} dt
le probleme est alors porté en 0,ce qui permet de trouver un équivalent:

ln(1+t)\sim t

on a donc:

\rm \Bigint_{X}^{e-1} \frac{1}{ln(1+t)} dt\sim \Bigint_{X}^{e-1} \frac{1}{t} dt->\infty

donc on conclue en disant que par comparaison de fonctions de signes constant,\rm \Bigint_{1}^{exp} \frac{1}{ln(x)} dx diverge

c'est bien ça?


Kaiser>ici la limite n'est pas finie n'est ce aps (je trouve l'infini)

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:40

OK, pour la limite.
Par contre ton équivalence n'est pas quelque chose d'immédiat (en effet, ça ne marche que parce que ta fonction est de signe constant et que les deux intégrales divergent).

Kaiser

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:43

Moi, j'aurais fait le changement hors intégrale, juste pour avoir l'équivalent en 1.
De plus écrire l'équivalence entre les intégrales n'a pas grand sens ! (les intégrales si elles convergent sont des nombres, pas de variable là dedans)
tu dois rédiger en disant f équivalente à g en ..., f et g de signe constant, donc les intégrales de f et de g sont de même nature en ...

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:46

d'accord Kaiser...je note ça aussi!

je fais le meme changement de varaible pour b) et avec la remarque de Kaiser en plus je conclue que l'intégrale est divergente.

(une question,une fois qu'on amontré comme on vient de le faire que l'intégrale est divergente,on n'a fini l'étude de la nature?)

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:48

ahh oui,bone remarque lafol...les intégrales sont des nombres!!

oui c'est vrai,l'équivalent se fait entre les fonctions de signes constants.

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 15:51

Citation :
une question,une fois qu'on amontré comme on vient de le faire que l'intégrale est divergente,on n'a fini l'étude de la nature?)


oui, en remarquant que les fonctions sont de signe constant (pour ne pas avoir à refaire le même boulot pour la semi-convergence).

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:01

d'accord Kaiser.Merci la c'est ok!

pour le c)
le probleme est en 0.
le fonction n'est pas prolongeable par continuité(limite infinie en 0)
la fonction est de signe constamment négatif sur [0,1] à cause du ln.

alors comme tout à l'heure voila ce que je fais:

\rm sin(x)\sim x en 0. \\ donc \frac{ln(x)}{sin(x)}\sim \frac{ln(x)}{x} en 0 \\ j'integre entre 0 et 1 en faisant une IPP \\ I=\Bigint_X^1 \frac{ln(x)}{x} dx \\ =[ln(x)^2]_X^1-I \\ \\ donc comme ln(x)->-oo quand X->0: \\ \\ I->+oo

je conclue en disant que les fonctions ont de signes constant donc de meme nature d'ou
\rm \Bigint_0^1 \frac{ln(x)}{sin(x)} dx diverge

est-ce correct?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:05

ça me parait correct.

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:07

:D oula j'en ai fait un bien!!!

je réfléchis au d) je poste ça dans 4/5 minutes.
(j'essaie du moins)

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:09

OK !

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:17

donc...
le probleme est en 0 et l'infini.
il y a plusieurs problemes...de signe surtout!
la fonction est cependant prolongeable par continuité en 0...

\rm \lim_{x\to 0} ln(x)sin(x)=\lim_{x\to 0} xln(x)=0 (en passant par un equivalent de sin(x) en 0)

mais il reste le probleme à l'infini.

bah la je dois dire que je pense à couper l'intégrale mais le probleme c'est que si on coupe entre 0 et 1 d'abord,le signe est toujours négatif...mais aprés de 1 à l'infini on aura de gros problemes...

la je bloque un peu j'avoue,une piste peut-etre?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:20

effectivement, sous cette forme, ça ne nous dit pas grand chose donc il faudrait essayer de la rendre plus sympathique. A ton avis, que pourrait-on faire dans ce cas ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:24

la rendre plus sympathique...tu penses à un changement de variable que je ne vois pas?!!

humm comme changement de variable j'en vois pas trop d'interressant...
je pensais voir la valeur absolue de la fonction...et majorer par |ln(x)|...je sais pas si c'est une bonne idée?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:27

Le problème c'est que j'ai l'impression que l'intégrale ne va être que semi-convergente.
Sinon, je ne pensais pas au changement de variable, plutôt autre chose (il y plusieurs moyens de transformer une intégrale).

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:30

humm d'ailleurs ma majoration ne sert à rien...

plusieurs moyens de transformer une intégrale??
bah a part le changement de variable...tu penses à la découper??

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:31

effectue une IPP !

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:36

Citation :
effectue une IPP

t'es bien sur?!

je dis ça parce que si on fait ça voila:

\rm u=ln(x),u'=\frac{1}{x} \\ v'=sin(x),v=-cos(x) \\ \\ \Bigint_0^{\infty} ln(x)sin(x)dx \\ =[-cos(x)ln(x)]_0^{\infty} +\Bigint_0^{\infty} \frac{cos(x)}{x}dx

je continue??

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:38

encore une fois, tant que tu ne sais pas si elle converge, garde des bornes autres qui vont tendre vers celles qui posent problème à la fin ....

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:40

en fait, vu que le problème se trouve en l'infini je te proposait de n'étudier que l'intégrale entre 1 et l'infini mais bon si veut le faire, à partir de 0, mieux vaut bien choisir la primitive du sinus.
L'astuce n'est pas de prendre -cos(x) mais 1-cos(x) pour ne pas avoir de problème en 0.

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:40

oui mais la j'ai fais ça pour voir quand meme que qand on va avoir a faire à +oo va y avoir un soucis avec le cos...

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:40

Est-ce qu'on ne pourrait pas étudier une série dont les termes seraient les intégrales entre k pi et (k+1)pi ? (histoire d'avoir une série alternée ? mais peut-être pas utile ici)

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:43

lafol > le problème c'est que la série peut converger mais l'intégrale peut diverger, non ?

Kaiser

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:45

c'est sûr que ce serait mieux si la série divergeait ...

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:45

1-cos(x)???

je reprend donc avec les indications de Lafol et Kaiser:

\rm \Bigint_0^{\infty} ln(x)sin(x)dx \\ =[(1-cos(x).ln(x)]_0^X -\Bigint_0^X \frac{1-cos(x)}{x} dx
par contre pour l'intégrale de cos(x)/x...c'est encore probleme...

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:47

ahh ok attendez je vien de voir!!

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:52

je poursuis donc:

\rm \Bigint_0^X \frac{1-cos(x)}{x} dx \\ =[ln(x)]_0^X-\Bigint_0^X \frac{cos(x)}{x} dx \\ =[ln(x)]_0^X-[cos(x)ln(x)]_0^X+\Bigint_0^X ln(x)sin(x)

je pensais etre sur la bone voie...et puis quand j'ai mis tout bout à bout j'ai eu 2I=0 lol (I c'était l'intgrale de ln(x)sin(x) )

donc bah je sais pas trop la.

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 16:58

et si tu intégrais par parties une deuxième fois, pour avoir du sinx / x², qui lui converge absolument en l'oo ? que donneraient les termes tout intégrés ?

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:01

pardon lafol,j'ai pas saisi ce que tu dis...une IPP sur quoi??

je viens d'en faire 2 déja...mais bon la on retombe sur la premiere...

ahh ok ok attend je fais.

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:03

robby > c'est normal (tu as fais l'IPP inverse de la première)

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:07

ok alors on a ça:

\rm \Bigint_0^X \frac{1-cos(x)}{x} dx \\ =[ln(x)]_0^X-\Bigint_0^X \frac{cos(x)}{x} dc \\ = [ln(x)]_0^X - [\frac{sin(x)}{x}]_0^X-\Bigint_0^X \frac{sin(x)}{x^2} dx.

en recolant j'obtiens ça:

\rm -[ln(x)cos(x)]_0^X+[\frac{sin(x)}{x}]_0^X+\Bigint_0^X \frac{sin(x)}{x^2} dx

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:09

donc la le seul souci c'est le premier terme.

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:09

il y a encore un problème (l'intégrale de cos(x)/x en 0, ça diverge)

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:10

il ne faut pas séparer le 1 de cos(x) (tu sais ce n'était pas pour faire joli )

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:12

olala j'ai fait ça pour rien!!

et bien comment veux tu t'en sortir?! on peut la calculer come ça cette intégrale?

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:12

ahh tu veux dire je fais une IPP a partir de la sans séparer le 1 et le cos??

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:13

oui !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:15

ou alors, ne te prends pas la tête : comme le problème est en 0 alors regarde ce qui se passe pour l'intégrale qui démarre à 1.

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:19

wouf!!
je crois que c'est bon pour l'IPP:

\rm \Bigint_0^X \frac{1-cos(x)}{x} dx \\ =[\frac{x-sin(x)}{x}]_0^X+\Bigint_0^X\frac{x-sin(x)}{x^2} dx \\ =1+[-\frac{sin(x)}{x}]_0^X+\Bigint_0^X \frac{1}{x} dx -\Bigint_0^X \frac{sin(x)}{x^2} dx \\ =2+[ln(x)]_0^X+(truc qui cv abs)
c'est bon?

Posté par
robby3re : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:21

donc finalement j'ai ça:

\rm -[cos(x)ln(x)]_0^X-2+(truc qui cv abs)

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence,Absolue,Semi??!! 12-04-07 à 17:22

non toujours pas (voir plutôt mon message de 17h15)

Kaiser

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