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Convergence d'une série

Posté par
LeHibou 30-08-22 à 11:48

Bonjour à toutes et à tous !

Je suis tombé en ligne sur l'étude de la convergence de la série de terme général \frac{1}{n^{3}sin²(n)}
L'auteur du post affirmait que c'était un problème non résolu, ce qui m'a semblé un peu étrange, mais après tout, on voit beaucoup de choses étranges en ligne
En y réfléchissant un peu, je me suis dit que l'ensemble {sin(n) / n} est dense dans [-1 ; 1] (je crois me souvenir que ça se  démontre assez facilement).
Il existerait donc une infinité de n tels que sin²(n) < 1/n²
(ça c'est le point sensible)
Donc il existerait une infinité de n tels que \frac{1}{n^3sin²(n)} > \frac{1}{n}
Ce qui entrainerait la divergence par comparaison avec la série de terme général 1/n.

Que pensez-vous de cette approche ?

Bonne journée, et surtout bonne rentrée pour nos courageux membres de l'Enseignement !
LeHibou

Posté par
LeHiboure : Convergence d'une série 30-08-22 à 11:58

Et en allant un peu plus loin, aurait-on une infinité de termes tels que sin²(n) < \frac{1}{n^4} ?
Ce qui amènerait pour le terme général \frac{1}{n^3sin²(n)} > n
Et donc une divergence grossière ?

Posté par
hdcire : Convergence d'une série 30-08-22 à 15:05

Bonjour,
Je ne sais pas directement répondre à la question, mais je pense que tu fais une erreur de raisonnement en supposant qu'il y a une infinité de sin²(n) inférieur à \frac{1}{n^4}. Ce serait vrai si à droite on avait fixé p (et non n) pour avoir une infinité de sin²(n) inférieur à \frac{1}{p^4} (variable d'un côté, pas de l'autre).

Il se pourrait que l'infinité de sin²(n) "autour de zéro" soient compris entre \frac{1}{\sqrt{n}} et \frac{1}{n}... Sans que cela ne change l'aspect densité.

Si on veut formaliser plus : 0 est un point d'accumulation de sin(n), ce qui signifie qu'on peut extraire des suites sin(\varphi(n)) convergeant vers 0, mais rien ne prouve que l'une de ces suites soit dominée par \dfrac{1}{n^q} pour un certain q fixé..

Posté par
Vantinre : Convergence d'une série 31-08-22 à 05:04

Wolframalpha propose un résultat de convergence:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^2} = \frac{4 e^{2ix} \zeta(3))}{(-1 + e^{2 i x})^2}

Posté par
LeHiboure : Convergence d'une série 31-08-22 à 08:43

Citation :
Wolframalpha propose un résultat de convergence:

C'est curieux, dans une autre entrée Wolfram affirme que le problème de la convergence n'est effectivement pas résolu comme le disait la source initiale du problème.
Il y a beaucoup de littérature en ligne sur ces "Flint Hill series".
Au passage, j'ai appris le concept de "mesure d'irrationalité" que j'ignorais totalement, on n'en parle pas dans les écoles d'ingénieur

Posté par
matheux14re : Convergence d'une série 31-08-22 à 17:10

Vantin @ 31-08-2022 à 05:04

Wolframalpha propose un résultat de convergence:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^2} = \frac{4 e^{2ix} \zeta(3))}{(-1 + e^{2 i x})^2}


ζ(3) ou constante d'apery  est irrationnel, une écriture est \zeta(3) = \dfrac{2\pi^4}{315} \prod^{+\infty}_{n = 1} \dfrac{1}{p^2_n - p_n} + 1

\pi est transcendant, mais le problème de la transcendance de la constante d'apery est un problème irrésolu.

Peut-être revoir ce problème sous un autre angle..

Posté par
LeHiboure : Convergence d'une série 31-08-22 à 21:13

La formule de Wolframalpha n'est pas relative au sujet que j'ai posté au début.
Il faudrait remplacer x par n et bien sûr, n variant à chaque terme, ça n'a plus rien à voir...

Posté par
matheux14re : Convergence d'une série 02-09-22 à 10:11

Un Théorème assez intéressant que j'ai trouvé dans un cours

Soient u, v deux suites positives. Alors \forall \epsilon > 0, ~~ \dfrac{1}{n^u |\sin(n)|^{v}} = O\left(\dfrac{1}{n^{u-(\mu(\pi) - 1)v - \epsilon}}\right)

De plus :

(i) Si \mu(\pi) < 1 + \dfrac{u}{v}, la suite \dfrac{1}{n^u |\sin(n)|^v} converge (vers 0).

(ii) Si \mu(\pi) > 1 + \dfrac{u}{v}, la suite \dfrac{1}{n^u |\sin(n)|^v} diverge.

Posté par
LeHiboure : Convergence d'une série 02-09-22 à 10:37

Citation :
Un Théorème assez intéressant que j'ai trouvé dans un cours


Ça semble rejoindre tout ce qu'on peut lire en ligne  sur la convergence de cette fameuse "Flint Hill series" :

Citation :
We show that this question is closely related to the irrationality measure of π, denoted μ(π). In particular, convergence of the Flint Hills series would imply μ(π)≤2.5 which is much stronger than the best currently known upper bound μ(π)≤7.6063....


Mais même dans le cas où la suite converge vers 0, ça ne dit rien de la convergence de la série associée qui semble bien rester pour l'instant un problème ouvert


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