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convergence de deux suites

Posté par
homomorhisme2 02-12-21 à 18:55

bojours les amis j aimerais bien que vous m aider à resoudre cet exercices
ENONCE

ETUDIER LA CONVERGENCE DE DEUX SUITE u_n\ et \ v_nsachantque lim u_n+v_n=0
et limite de e^{u_n}+e^{v_n}=2
j'ai supposer que u_n est convergente et jai abouti àlim\ u_n=lim\ v_n=0
mai si u_n est divergente ?

Posté par
carpediemre : convergence de deux suites 02-12-21 à 19:13

salut

1/ que penses-tu des suites u_n = n + \dfrac 1 n $ et $ v_n = -n -\dfrac 1 {n^2}

PS : j'aurai pu prendre u_n = -v_n = n tout simplement ...

2/ une exponentielle est positive ...

Posté par
homomorhisme2re : convergence de deux suites 02-12-21 à 20:06

Oui mais si u_n ne tends pas vers l'infini

Posté par
Foxdevilre : convergence de deux suites 02-12-21 à 20:10

Bonsoir homomorhisme2,

Tu peux commencer par montrer que tes deux suites sont bornées. En raisonnant par l'absurde.
Par exemple, si l'une d'elle n'est pas minorée, que peut-on dire en terme de valeurs d'adhérence?
Idem pour majorée...

Ensuite, prouve qu'il n'y a qu'une seule valeur d'adhérence possible.

Puis conclus.

Salut carpediem,

Attention. tes exemples ne satisfont pas la 2ème hypothèse .

Posté par
carpediemre : convergence de deux suites 02-12-21 à 20:51

merci Foxdevil : je croyais que c'était deux questions différentes ...

alors oui je te suis et la majoration est évidente avec la deuxième condition, la positivité et a croissance de l'exponentielle ...

pour la minoration un raisonnement par l'absurde permet effectivement d'aboutir ...

Posté par
DOMOREAconvergence de deux suites 03-12-21 à 14:23

bonjour,
e^{u_n+v_n}=e^{u_n}e^{v_n}
Les deux suites e^{u_n} et e^{v_n} tendent vers les solutions de X²-2X+1=0 c'est à dire 1
donc u_n et v_n  ont  même limite 0

Posté par
Foxdevilre : convergence de deux suites 03-12-21 à 15:52

DOMOREA @ 03-12-2021 à 14:23

bonjour,
e^{u_n+v_n}=e^{u_n}e^{v_n}
Les deux suites e^{u_n} et e^{v_n} tendent vers les solutions de X²-2X+1=0 c'est à dire 1
donc u_n et v_n  ont  même limite 0
Ce seul fait, ne suffit pas, il me semble, à dire que e^{u_n} ou e^{v_n} converge.

Posté par
jandri Correcteurre : convergence de deux suites 03-12-21 à 16:49

Bonjour,

(e^{u_n}-e^{v_n})^2=(e^{u_n}+e^{v_n})^2-4\,e^{u_n+v_n} tend vers 0 donc e^{u_n}-e^{v_n} tend vers 0, donc e^{u_n} et e^{v_n} tendent vers 1.

Posté par
Foxdevilre : convergence de deux suites 03-12-21 à 17:11

beaucoup plus simple en effet

Posté par
jandri Correcteurre : convergence de deux suites 03-12-21 à 17:22

C'est un exercice que je connaissais, il a été proposé à l'oral d'ULM en 2009.

La solution que j'ai donnée a été proposée par Razes en novembre 2020, voir ici : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn

Posté par
malou Webmasterre : convergence de deux suites 04-12-21 à 08:18

homomorhisme2, tu désires poster avec ce compte, pas de souci
Mais à force de naviguer entre deux comptes, le site t'a banni.
Désinscris toi de l'autre compte si tu ne veux plus avoir de souci.


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