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Convergence de la moyenne d'une suite complexe.

Posté par
steev
02-08-10 à 16:37

Bonjour à tous, j'ai un petit problème concernant un exercice :

Soit un réel \alpha \in ]0;2[

On définis la suite complexe z_n pour tout n par z_0=1 et z_{n+1}= e^{i\alpha}.z_n + \frac{1}{2}.(1-e^{i\alpha})

J'ai montrer que  z_n = \frac{1}{2}.(1+e^{in\alpha})    (1)

On pose alors la somme S(n) définie par :
                      
                         S_n(\alpha)= \Bigsum_{k=0}^n\ z_k

et
                         T_n(\alpha) = \frac{S(n)}{n+1}

On me demande alors de montrer que :

                                 \lim_{n\to +\infty} | T_n(\alpha)- \frac{1}{2} | = 0


C'est ici que je bloque, j'ai explicité  S_n(\alpha) comme demandée grace à (1) et j'obtiens :
                  
                         S_n(\alpha)= \frac{n+1}{2} +\frac{sin(\frac{n+1}{2}.\alpha)}{2sin(\frac{\alpha}{2}).e^{i\frac{n\alpha}{2}   (2)

et je n'arrive pas a aboutir au résultat de la limite, j'avoue que le sinus me gène un peu...

Merci d'avance pour votre aide  

Posté par
Jalex
re : Convergence de la moyenne d'une suite complexe. 02-08-10 à 17:00

Bonjour

Si les sinus vous gênent, gardez la forme exponentielle !

On a T_n(\alpha) = \frac{1}{2(n+1)}\left(n+1+\frac{1-(e^{i\alpha})^{n+1}}{1-e^{i\alpha}}\right), donc
\left|T_n(\alpha)-\frac{1}{2}\right| = \frac{|1-(e^{i\alpha})^{n+1}|}{2(n+1)|1-e^{i\alpha}|} \leq \frac{1+|e^{i\alpha}|^{n+1}}{2(n+1)|1-e^{i\alpha}|} = \frac{2}{2(n+1)|1-e^{i\alpha}|} = \frac{1}{(n+1)|1-e^{i\alpha}|} \ \ldots

Posté par
steev
re : Convergence de la moyenne d'une suite complexe. 02-08-10 à 17:33

Merci beaucoup, en effet c'est bien moins gênant avec la forme exponentielle


Sinon petite question, c'est bien l'inégalité triangulaire que tu utilise pour trouver un majorant, avec les vacances quelques formules me sont sortie de l'esprit

Merci encore

Posté par
Jalex
re : Convergence de la moyenne d'une suite complexe. 02-08-10 à 17:36

oui, j'ai utilisé l'inégalité triangulaire



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