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Convergence de la suite de Mandelbrot

Posté par
Koelite 27-07-20 à 19:26

Bonsoir,

Voici l'énoncé du tout début d'un exercice :

Citation :
On prend un nombre complexe A et on lui associe la suite définie
par : w_0=0  et  \forall n\in\mathbb{N}, w_{n+1}=w_n^2+A
L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points A du plan complexe \mathbb{C}, pour lesquels  (w_n)_{n\in\mathbb{N}}  converge.
1. On suppose dans cette partie que A est un réel positif. Etudier le comportement asymptotique de la suite (w_n)_{n\in\mathbb{N}} et donner sa limite en fonction de A quand elle converge.


N'ayant jamais étudié de suites complexes, j'ai voulu l'écrire ainsi :
Il existe des suites x et y telles que \forall n\in\mathbb{N}, w_n=x_n+i\times y_n.
Après avoir écrit wn+1 et avoir développé, j'en déduis que :
x_{n+1}=x_n^2-y_n^2+a
y_{n+1}=2x_n y_n +b

Et là, je ne vois pas comment étudier les convergences des deux suites, je ne sais même pas si cela va mener à quelque chose.
J'ai un peu regardé sur Wikipedia, et je n'ai pas compris leur preuve et de toute façon il ne faut pas que je copie bêtement.

Merci pour vos réponses,
Bonne soirée,
Koelite.

Posté par
XZ19re : Convergence de la suite de Mandelbrot 27-07-20 à 19:28

Bonjour
Concernant cette première question la suite est réelle, alors inutile de se fatiguer pour l'instant

Posté par
Koelitere : Convergence de la suite de Mandelbrot 27-07-20 à 20:10

Si vous parlez de la suite w, je crains que vous vous trompez...
A est un complexe.

J'ai peut-être mal compris votre réponse.

Posté par
verdurinre : Convergence de la suite de Mandelbrot 27-07-20 à 20:19

Bonsoir,
dans la première question on suppose que A est un réel.
La suite définie par w_0=0  et  \forall n\in\mathbb{N}, w_{n+1}=w_n^2+A est donc réelle.

Posté par
Koelitere : Convergence de la suite de Mandelbrot 27-07-20 à 20:21

En effet, je ne sais pas lire un énoncé.
Cela fait plus d'une heure que je m'entête à croire que c'est un complexe.
Merci, c'est tout de suite plus commode.

Posté par
verdurinre : Convergence de la suite de Mandelbrot 27-07-20 à 21:59

De fait mal lire un énoncé est une erreur très courante et je crois que c'est arrivé quasiment à tout le monde.

Posté par
KoeliteFonction polynomiale 29-07-20 à 15:25

Bonjour,

Voici le début de l'énoncé d'un exercice :
On prend un nombre complexe A et on lui associe la suite définie
par : w_0=0  et  \forall n\in\mathbb{N}, w_{n+1}=w_n^2+A
L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points A du plan complexe \mathbb{C}, pour lesquels  (w_n)_{n\in\mathbb{N}}  converge.
2. (a) Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}^∗, w_n s'exprime en fonction de A à l'aide d'une fonction polynomiale de degré 2^n−1 à coefficients entiers et dont le terme de plus bas degré est A.

J'ai bien compris que :
w_1=A
w_2=A^2+A
w_3=(A^2+A)^2+A
w_4=((A^2+A)^2+A)^2+A
\forall n\in\mathbb{N}^{*}, w_n=((...(A^2+A)^2+...)^2+A

Cependant, je ne sais pas comment répondre à la question...
Je peux facilement montrer le degré de w_n par récurrence mais en ce qui concerne le reste, je ne vois pas trop... Il faut montrer qu'il s'exprime en fonction de A, donc je pense qu'il faut répondre à cette question en un calcul, et pas montrer chaque chosé séparément.

Merci pour votre aide.

Cordialement,
Koelite.

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Fonction polynomiale 29-07-20 à 15:43

salut

en considérant le polynome P(x) = x^2 + A vois-tu ?

*** message déplacé ***

Posté par
Koelitere : Fonction polynomiale 29-07-20 à 16:48

Bonjour,

En considérant P(X) = X^2+A :
w_2 = w_1^2+A = P(w_1)
w_3 = w_2^2+A = P(w_2)
w_n = w_{n-1}^2+A = P(w_{n-1})
w_n = P \circ P \circ P \circ ... \circ P(w_1) n fois.

Que dois-je faire avec ça ? C'est peut-être super simple et je suis aveugle ???
Merci pour votre aide.

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Fonction polynomiale 29-07-20 à 19:30

1/ la composée de deux polynomes est ...
2/ le degré du ... composé de deux polynomes est ...
3/ le termes constant (ou de plus bas degré) est ...

*** message déplacé ***

Posté par
Foxdevilre : Fonction polynomiale 29-07-20 à 23:40

Bonsoir,

Sinon, ça se fait bien aussi par récurrence (non seulement le degré certes, mais aussi les coeff entiers et le terme de plus bas degré)

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Fonction polynomiale 30-07-20 à 11:18

Foxdevil : bien sûr mais il faut déjà commencer par (la composée de) deux polynomes (pour initier) ensuite la récurrence viendra toute seule ...

*** message déplacé ***

Posté par
Foxdevilre : Fonction polynomiale 30-07-20 à 14:47

carpediem : Ah dac. J'avais pensé que tu essayais de lui faire faire directement...

*** message déplacé ***

Posté par
KoeliteCondition suite complexe constante 15-08-20 à 12:11

Bonjour.

Le début de l'énoncé d'un exercice se présente ainsi :
On prend un nombre complexe A et on lui associe la suite définie
par : w_0=0  et  \forall n\in\mathbb{N}*, w_{n+1}=w_n^2+A.
L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points A du plan complexe \mathbb{C}, pour lesquels  (w_n)_{n\in\mathbb{N}}  converge.
2.
(a) Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}^{∗}, w_n s'exprime en fonction de A à l'aide d'une fonction polynomiale de degré 2^{n−1} à coefficients entiers et dont le terme de plus bas degré est A.
(b) i. Déterminer pour quelles valeurs de A la suite w est constante.

La suite w est constante
\iff w_{n+1} - w_n = 0
\iff w_n^2 + A - w_n = 0.

C'est une équation du second degré qui a pour solutions :
\frac{1-\sqrt{1-4A}}{2}  et  \frac{1+\sqrt{1-4A}}{2}
Mais je ne vois pas l'intérêt de ça...
Je me suis dit qu'il fallait utiliser la question précédente.
En effet on peut dire que :
\forall n\in\mathbb{N}^{*}, w_n=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\times A^k.
(Bon ici je n'ai pas posé les a_k.)
Mais je ne sais pas quoi faire de ça.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Cordialement,
Koelite.

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Posté par
Zrunre : Condition suite complexe constante 15-08-20 à 14:00

Bonjour ,
Si la suite est constante alors elle est égale à son premier terme . A fortiori u_0=u_1 ...

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Posté par
Glapion Moderateurre : Condition suite complexe constante 15-08-20 à 14:32

Bonjour, "pour quelles valeurs de A la suite w est constante."
moi j'aurais dit si w0 = 0 et donc w1 = A, pour qu'elle soit constante il faut que A = 0 mais bon faisons la première question avant.

Moi j'aurais essayé de me rendre compte des coefficients du polynôme

si w_n= A+ a_2A^2 + .... + a_{2^{n-1}} A^{2^{n-1}}} il semble que ça soit 2n-1 ?

w1= A
w2 = A + A² (donc a2 = 1)
w3 = (A²+A)²+A = A + A² + 2A3 + A4
donc a3 =2 et a4 = 1

on peut facilement faire une récurrence, on voit que l'hypothèse est vraie pour n =1 (2 et 3 aussi) et donc supposer qu'elle est vraie pour n et montrer qu'elle l'est encore pour n+1

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Posté par
Koelitere : Condition suite complexe constante 15-08-20 à 15:01

Bonjour,

Je suis désolé d'avoir oublié de préciser que j'avais déjà répondu à la première question. Je l'ai mise pour le contexte car je pense qu'il faut s'en servir pour la question suivante.
Comment justifiez-vous les cas sur le complexe A ?

Merci bien.

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Posté par
Koelitere : Condition suite complexe constante 15-08-20 à 15:42

En fait oui, la question est facile !
Il faut que w0 = w1 et forcément A = 0.
Faut réfléchir heinnn (je parle à moi-même).
Merci.

*** message déplacé ***

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Posté par
Koelitere : Condition suite complexe constante 15-08-20 à 17:04

Rebonjour,

Voilà une heure que je bloque sur la question d'après.
Dois-je recréer un sujet de discussion ?

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Posté par
malou Webmasterre : Condition suite complexe constante 15-08-20 à 17:14

Bonjour
surtout pas
toutes les questions d'un même exo ou problème doivent être postées au sein du même sujet sur le site


*** message déplacé ***

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Posté par
malou Webmasterre : Fonction polynomiale 15-08-20 à 17:18

je vois que le mal est déjà fait
rien ne justifie qu'on poste 3 fois son sujet

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



*** message déplacé ***

Posté par
Koelitere : Convergence de la suite de Mandelbrot 15-08-20 à 17:43

Je suis désolé et je vous demande de m'excuser.
Je mets donc la suite de l'exercice ici.

Citation :
2. (b) ii. On suppose A\neq 0 ; soit q ∈ N∗, montrer que la suite w est constante à partir du rang q exactement si et seulement si on a w_q + w_{q−1} = 0.


Je ne sais pas s'il est possible de répondre à cette question avec des équivalences mais j'ai pour l'instant réfléchi par double implication.
J'ai réussi l'implication w_q + w_{q+1} = 0 \Rightarrow w est constante.
On suppose que w_q + w_{q+1} = 0.
En sachant que w_q = w_{q-1}^2 +A, on a donc : w_{q-1}^2 + w_{q-1} + A = 0.
Cette équation du second degré a pour solutions \frac{-1-\sqrt{1-4A}}{2} et \frac{-1+\sqrt{1-4A}}{2}.
Il reste à montrer que \forall n>=q, w_{n+1} = w_n.
Je l'ai montré par récurrence, je ne détaille pas ici (ça se trouve ça se montre plus rapidement). L'implication de la droite vers la gauche est donc faite.

Pour montrer maintenant que w est constante \Rightarrow w_q + w_{q+1} = 0 .
J'ai écrit que \forall n>=q, w_{n+1} = w_n et en particulier w_{q+1} = w_q.
Cela s'écrit encore (w_{q-1}^2+A)^2+A = w_{q-1}^2+A.
J'ai encore résolu l'équation et on a w_{q-1}^2 = \frac{1-2A-\sqrt{1-4A}}{2} ou w_{q-1}^2 = \frac{1-2A+\sqrt{1-4A}}{2}.
Donc w_q = \frac{1-\sqrt{1-4A}}{2} ou w_q = \frac{1+\sqrt{1-4A}}{2}.
C'est à partir de là que je bloque.
Comment montrer que w_{q-1} + w_q = 0 ?

Je vous remercie pour votre aide.

Posté par
Koelitere : Convergence de la suite de Mandelbrot 15-08-20 à 17:46

ATTENTION : 2 FAUTES.
J'ai écrit :

Citation :
J'ai réussi l'implication w_q + w_{q+1} = 0 \Rightarrow w est constante.

et
Citation :
Pour montrer maintenant que w est constante \Rightarrow w_q + w_{q+1} = 0.

mais il s'agit de w_{q-1}+w_q=0.

Posté par
carpediemre : Convergence de la suite de Mandelbrot 15-08-20 à 17:58

si la suite est constante à partir du rang q exactement alors w_q = w_{q + 1} = w_{q + 2} =  ...

or w_q = w_{q + 1} \iff ...

mais si A est complexe je ne comprends pas comment il peut apparaitre dans l'argument d'une racine carrée ...

Posté par
Koelitere : Convergence de la suite de Mandelbrot 15-08-20 à 18:13

En effet, tout ce que j'ai fait est FAUX.

Que faites vous de w_q = w_{q+1} ?
J'avais d'abord écrit cela à l'aide de w_{q-1} et on a donc : (w_{q-1}^2+A)^2+A = w_{q-1}^2+A. ou encore w_{q-1}^4+(2A-1)w_{q-1}^2+A^2=0.
Mais je fais quoi à partir de ça ?

Posté par
Koelitere : Convergence de la suite de Mandelbrot 16-08-20 à 11:31

OK j'ai trouvé la solution


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