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Convergence en loi et en probabilité

Posté par
H_aldnoer 24-06-08 à 01:03

Bonsoir,

je suis bloqué sur cette exercice dès le début :

Soit \Large{(X_n)_{n\ge 1}} une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, donnée pour tout \Large{n\ge 1} par :

\Large{\mathbb{P}(X_n=1)=p,  \Large{\mathbb{P}(X_n=-1)=p,  \Large{\mathbb{P}(X_n=0)=1-2p avec \Large{p\in [0,\frac{1}{2}].

Soit \Large{Y_n=\Bigprod_{k=1}^nX_k.

1) Montrer que \Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1-(2p)^n, que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\mathbb{P}(Y_n=-1)=\frac{(2p)^n}{2}.
2) Etudier, suivant les valeurs de \Large{p}, la convergence en loi de \Large{(Y_n)}.
2) Etudier, suivant les valeurs de \Large{p}, la convergence en probabilité de \Large{(Y_n)}.

---

Voici ce que j'ai fais :
\Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1-\mathbb{P}(Y_n\neq 0)=1-(\mathbb{P}(Y_n=1)+\mathbb{P}(Y_n=-1))1-2\frac{(2p)^n}{2}=1-(2p)^n.
Mais il reste à montrer que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\mathbb{P}(Y_n=-1)=\frac{(2p)^n}{2} et la ça bloque!

Pour avoir l'événement \Large{(Y_n=1) par exemple, il faut que \Large{(X_k=0)} soit exclus, et que pour tout \Large{k}, \Large{(X_k=1)} ou alors que l'on ait un nombre pair de \Large{(X_k=-1)}. Je n'arrive pas à le formaliser!

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 09:17

Bonjour,

j'ai réfléchis, mais j'avance pas vraiment :
\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=1-\mathbb{P}(Y_n\neq 1)=1-(\mathbb{P}(Y_n=0)+\mathbb{P}(Y_n=-1))

D'où \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)+\mathbb{P}(Y_n=-1)=1-\mathbb{P}(Y_n=0)=(2p)^n.

Je n'arrive toujours pas à déterminer \Large{\mathbb{P}(Y_n=1).

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 12:41

Salut H

Dire que Yn=1 équivaut à dire qu'un nombre pair des Xk valent -1.

Ainsi:


4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\bigsum_{0\le 2k\le n}\;\;\;\;\bigsum_{1\le l_1<l_2<...<l_{2k}\le n}\mathbb{P}[(\forall 1\le i\le 2k, X_{l_i}=-1)\bigcap (\forall l\notin \{l_1;...;l_n\}, X_l=1)]\;=\\ \\ \\ \bigsum_{0\le 2k\le n}\;\;\;\;\bigsum_{1\le l_1<l_2<...<l_{2k}\le n}p^{2k}p^{n-2k}\;\;= \\ \\ \\\bigsum_{0\le 2k\le n}\;\;\;\;\(n\\2k\)p^{n}


par indépendance des 4$X_l et puisque 4$\Large{\mathbb{P}(X_l=1)=\Large{\mathbb{P}(X_l=-1)=p.


De même, Yn vaut -1 ssi un nombre impair de Xk valent -1.

En raisonnant de même, on trouve:


4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\bigsum_{1\le 2k+1\le n}\;\;\;\;\(\;\;n\\2k+1\)p^{n}.

D'où:

4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)-\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\bigsum_{0\le k\le n}\;\;\;\;(-1)^k\(n\\2k\)p^{n}=p^n\bigsum_{0\le k\le n}\;\;\;\;(-1)^k\(n\\2k\)=p^n(-1+1)^n=0.

Par suite:


4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\fr{1-{\mathbb{P}(Y_n=0)}}2=\frac{(2p)^n}{2}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 12:44

Pardon, il faut remplacer l'avant-dernière ligne par:


4$\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)-\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\bigsum_{0\le k\le n}\;(-1)^k\(n\\k\)p^{n}=p^n\bigsum_{0\le k\le n}\;(-1)^k\(n\\k\)=p^n(-1+1)^n=0.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 13:16

De plus, dans la première ligne, après le symbole d'intersection, il ne faut pas s'arrêter à l_n mais à l_{2k} bien sûr, tu auras rectifié tout seul j'imagine!

C'est: 4$(\forall%20l\notin%20\{l_1;...;l_{2k}\},%20X_l=1)

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 13:22

Oui, je viens de l'écrire sur mon papier!
Par contre, j'ai vraiment du mal à comprendre un truc :

Moi je montre que \Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1-(2p)^n en admettant comme démontré le fait que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\mathbb{P}(Y_n=-1)=\frac{(2p)^n}{2}.
Toi, tu sembles faire l'inverse!

Y'a pas un petit souci la ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 13:30

Lol en effet je n'avais pas lu comment tu démontrais \Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1-(2p)^n

En fait c'est immédiat, car Yn est différent de 0 ssi chaque Xk est différent de 0, ce qui se réalise avec la proba 2p à chaque fois.On conclut par indépendance des Xk, puis en observant que "Yn = 0" est le contraire de l'événement dont on vient de calculer la probabilité

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 13:35

J'ai un petit bug sur le calcul de \Large{\mathbb{P}((\forall\,1\le i\le 2k\,,X_{l_i}=-1)\Bigcap (\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1)).


J'obtiens :
\Large{\mathbb{P}((\forall\,1\le i\le 2k\,,X_{l_i}=-1)\Bigcap (\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1))=\mathbb{P}(\forall\,1\le i\le 2k\,,X_{l_i}=-1)\mathbb{P}(\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1)

par indépendance.

Puis :
\Large{\mathbb{P}(\forall\,1\le i\le 2k\,,X_{l_i}=-1)=\mathbb{P}(\Bigcap_{i=1}^{2k}(X_{l_i}=-1))=\Bigprod_{i=1}^{2k}\mathbb{P}(X_{l_i}=-1)=\Bigprod_{i=1}^{2k}p=p^{2k}

toujours par indépance.

Mais dans ce calcul, je vois pas :
\Large{\mathbb{P}(\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1) comment faire pour retrouver \Large{p^{n-2k} !

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 13:35

Je regarde ton post de 13:30, je vais manger je reviens!
Penses-tu pouvoir m'aider pour la suite ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 13:41

Comme je l'ai dit, il faut remplacer l_n par l_{2k}.

Il y a donc bien n-2k indices qui sont concernés, et on utilise une fois de plus l'indépendance, d'où le p^{n-2k}.

La suite de l'exercice me paraît très simple, vu qu'on dispose de la fonction de répartition de P.

A priori, il y a trois cas à considérer selon la position de p par rapport à 1/2 .

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 14:07

Je ne trouve pas les "bonnes bornes".
\Large{\mathbb{P}(\forall\,l\notin\{l_1,\cdots,l_n\}\,,X_{l}=1)=\mathbb{P}(\Bigcap_{l=1}^{n-2k}(X_{l}=1))=\Bigprod_{l=1}^{n-2k}\mathbb{P}(X_{l}=1)=\Bigprod_{l=1}^{n-2k}p=p^{n-2k}

Est-ce cela ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 14:14

Oui, si tu veux.Il faut juste avoir conscience que les "bons" indices à retenir ne sont pas forcément les n-2k premiers, mais cela revient au même puisque tous les Xk suivent la même loi.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 15:46

Citation :
En fait c'est immédiat, car Yn est différent de 0 ssi chaque Xk est différent de 0, ce qui se réalise avec la proba 2p à chaque fois.On conclut par indépendance des Xk, puis en observant que "Yn = 0" est le contraire de l'événement dont on vient de calculer la probabilité

Très bien!

Citation :

Oui, si tu veux.Il faut juste avoir conscience que les "bons" indices à retenir ne sont pas forcément les n-2k premiers, mais cela revient au même puisque tous les Xk suivent la même loi.

D'accord!


J'arrive à bien saisir \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\Bigsum_{0\le 2k\le n}\begin{pmatrix}n\\2k\end{pmatrix}p^n et \Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\Bigsum_{0\le 2k+1\le n}\begin{pmatrix}n\\2k+1\end{pmatrix}p^n.

Mais je ne vois pas comment calculer \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)-\mathbb{P}(Y_n=-1), en particulier, montrer que c'est égal à \Large{\Bigsum_{k=0}^n(-1)^k\(n\\k\)p^{n}.

D'ailleurs, ceci permet juste de montrer que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\mathbb{P}(Y_n=-1), c'est bien ça ?

Car je ne vois pas le lien logique qui permet d'affirmer que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\frac{1-\mathbb{P}(Y_n=0)}{2}.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 16:01

Non c'est bon, oublie ma dernière question !
Par contre je fais toujours un blocage sur le fait que \Large{\mathbb{P}(Y_n=1)-\mathbb{P}(Y_n=-1)=\Bigsum_{k=0}^n(-1)^k\(n\\k\)p^{n} !

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 16:05

Cela s'explique-t-il par le fait que \Large{\Bigsum_{0\le 2k\le n}\begin{pmatrix}n\\2k\end{pmatrix}\,\,-\,\,\Large{\Bigsum_{0\le 2k+1\le n}\begin{pmatrix}n\\2k+1\end{pmatrix}\,=\,\Large{\Bigsum_{0\le k\le n}(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 16:32

Oui, ce n'est rien de plus que ça!
Tu peux sortir le p^n de la somme!
Ce n'est qu'une question de parité de k.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 16:34

Ok!

Par contre, lorsque tu dis on connait la fonction de répartition de P, c'est plutôt celle de \Large{Y_n} non?

Faut-il la chercher ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 16:37

Oui, en effet.

Je suis désolé, je dois y aller.La suite n'est pas difficile; si tu le souhaites, propose quelque chose et je te dirai ce que j'en pense à mon retour.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 16:40

Je bloque dès le début en fait car j'obtiens quelque chose du type \Large{F_{Y_n}(y)=\mathbb{P}(\Bigcap_{k=1}^nX_k\le y)} et je me demande si l'on peut écrire que ceci est égale à \Large{\Bigcap_{k=1}^n\mathbb{P}(X_k\le y)}.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 16:41

Citation :
Je suis désolé, je dois y aller

Ok, a bientôt!

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 18:48

Voici ce que je trouve, sans grande conviction :

\Large{F_{Y_n}(y)=(F_X(y))^n=exp(-n\lambda)(\Bigsum_{i=0}^y\frac{\lambda^i}{i!})^n

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 18:53

Non mais il est inutile de revenir aux Xk maintenant qu'on connaît la loi de Yn .

Si y est supérieur ou égal à 1, Fn(y)=1.

Si y est dans [0;1[, F_n(y) = \mathbb{P}(Y_n=0)+\mathbb{P}(Y_n=-1)=...

etc...

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 18:57

Juste un truc, dans le cas discret, il ne suffit pas de voir quand avons-nous \Large{\lim_{n\to +\infty} \, \mathbb{P}(Y_n=k)=\mathbb{P}(Y=k) pour la convergence en loi ?


Je trouve que :
\Large{\lim_{n\to +\infty} \, \mathbb{P}(Y_n=0)=1
\Large{\lim_{n\to +\infty} \, \mathbb{P}(Y_n=1)=0
\Large{\lim_{n\to +\infty} \, \mathbb{P}(Y_n=-1)=0

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:03

Donc je trouve :


\Large{F_{Y_n}(y)=\{0\,si\,0<y\\1-\frac{(2p)^n}{2}\,si\,0\le y<1\\1\,sinon

qui tend vers 0 si \Large{0<y, vers 1 si \Large{0\le y.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:14

Euh ...

Si \Large{y<-1}, \Large{F_{Y_n}(y)=0.

Si \Large{y\in [-1,0[\Bigcup [1,+\infty[, \Large{F_{Y_n}(y)=\frac{(2p)^n}{2}.

Si \Large{0\le y<1}, \Large{F_{Y_n}(y)=1-(2p)^n.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:23

Citation :
Juste un truc, dans le cas discret, il ne suffit pas de voir


->Si, tout-à-fait.

Je ne suis pas d'accord avec tes trois cas, ni avec tes limites.

y peut être négatif, et sa position par rapport à -1 entre dans la disjonction de cas.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:24

PArdon, je n'avais pas vu ton dernier post.

Ton deuxième cas est faux, si y est supérieur à 1, la valeur de Fn augmente strictement.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:26

D'ailleurs ton troisième cas est faux aussi, il faut additionner \mathbb{P}(Y_n=0) et \mathbb{P}(Y_n=-1)

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:27

Si \Large{1\le y} n'a-t-on pas que \Large{F_{Y_n}(y)=\mathbb{P}(Y_n\le y)=\mathbb{P}(Y_n=1) ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:31

Non puisque si Yn = 0 ou -1, on aura encore Yn < y dans ce cas

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:32

Ok, j'ai saisi :


Si \Large{y<-1} alors \Large{F_{Y_n}(y)=0.

Si \Large{-1\le y<0} alors \Large{F_{Y_n}(y)=\frac{(2p)^n}{2}.

Si \Large{0\le y<1} alors \Large{F_{Y_n}(y)=1-\frac{(2p)^n}{2}.

Si \Large{1\le y} alors \Large{F_{Y_n}(y)=1.


Je pense que c'est bon !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:34

Parfait!

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:34

Par suite, si \Large{y\in ]-\infty,0[ alors \Large{\lim_{n\to +\infty}\, F_{Y_n}(y)=0 et si \Large{y\in [0,+\infty[ alors \Large{\lim_{n\to +\infty}\, F_{Y_n}(y)=1.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:36

Ca c'est faux par contre, ça dépend de p!

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:37

Dans mon calcul de limite, je tiens compte du fait que \Large{p\in%20[0,\frac{1}{2}]. Par contre, je ne vois pas la loi dont la fonction de répartition est donnée par :

\Large{F_{Y}(y)=\{0\,si\, y\in ]-\infty,0[\\1\,si\, y\in [0,+\infty[

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:44

Puisque \Large{p\in%20[0,\frac{1}{2}] n'a-t-on pas que \Large{(2p)^n tend vers 0 à l'infini ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 19:50

Citation :
Dans mon calcul de limite, je tiens compte du fait que


->Tu ne l'as pas dit!

Par contre, le cas p=1/2 est à considérer à part.

La loi dont la fonction de répartition est celle que tu donnes est celle d'une v.a. qui vaut presque sûrement 0.

Mais je ne pense pas qu'on te demande davantage que la formule écrite.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:15

Donc
-Si \Large{p\in [0,\frac{1}{2}[ alors \Large{Y_n} converge en loi vers la loi dont la fonction de répartition est donnée par \Large{F_{Y}(y)=\{0\,si\,%20y\in%20]-\infty,0[\\1\,si\,%20y\in%20[0,+\infty[.

-Si \Large{p=\frac{1}{2}} alors \Large{F_{Y_n}(y)=\{0\, si\, y<-1\\\frac{1}{2}\, si\, -1\le y<1\\1 \, sinon qui converge en loi vers la loi dont la fonction de répartition est donnée par \Large{F_{Y}(y)=\{0\, si\, y<-1\\\frac{1}{2}\, si\, -1\le y<1\\1 \, sinon !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:19

Exactement!

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:21

Ok chef!
Pour le convergence en probabilité, je doit faire l'étude de la limite de \Large{\mathbb{P}(|Y_n-Y|\ge \epsilon) c'est bien ça ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:25

Oui, mais il est inutile de le faire si p est supérieur à 1/2 car dans ce cas Yn ne peut pas converger en probabilité (sinon elle convergerait en loi).

De plus si p < 1/2 alors, comme on l'a vu, Yn converge en loi vers une va ps constante, donc converge en probabilité.

Il ne reste donc plus à examiner que le cas p=1/2.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:26

Cela me paraît quand même bien long!
En effet, je trouve que \Large{\mathbb{P}(|Y_n-Y|\ge%20\epsilon)=1-F_{Y_n}(Y+\epsilon)+F_{Y_n}(Y-\epsilon).

Il y a beaucoup de cas!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:30

Non mais si p=1/2 c'est tout de même très simple!

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:35

Ah d'accord!
Donc avant on peut rajouter que si \Large{p> \frac{1}{2}} alors \Large{Y_n} ne converge pas en loi, même si dans l'énoncé p est supposé être dans \Large{[0,\frac{1}{2}]}


Si \Large{p=\frac{1}{2}} j'ai regardé les deux fonctions :



\Large{F_{Y_n}(Y+\epsilon)=\{0\, si\, Y<\epsilon-1\\\frac{1}{2}\, si\, \epsilon-1\le Y<\epsilon+1\\1\, sinon

F_{Y_n}(Y-\epsilon)=\{0\, si\, Y<-\epsilon-1\\\frac{1}{2}\, si\, -\epsilon-1\le Y<-\epsilon+1\\1\, sinon

Je trouve pas la logique la dedans!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:38

Lol je viens de relire ton énoncé, et en effet le fait que p \le \fr 12 m'avait échappé!
Cela dit oui, tu peux rajouter ce qu'on a dit, ça fera "classe"!

Sinon tu te compliques bien la vie je trouve!

Et d'abord, qu'appelles-tu Y ?

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:41

Citation :
Cela dit oui, tu peux rajouter ce qu'on a dit, ça fera "classe"!




J'appelle \Large{Y} la v.a, éventuelle, vers laquelle \Large{Y_n} converge en probabilité!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:44

N'est-elle pas évidente?

Reprends les résultats de la question 1 en remplaçant p par 1/2.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:52

Euh, je vois ou veux-tu en venir!

Avec \Large{p=\frac{1}{2}} j'ai :

\Large{\mathbb{P}(Y_n=0)=1
\Large{\mathbb{P}(Y_n=1)=\frac{1}{2}
\Large{\mathbb{P}(Y_n=-1)=\frac{1}{2}

On peut trouver ainsi vers quoi converge en loi la v.a. \Large{Y_n} ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:53

En probabilité, même!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Convergence en loi et en probabilité 24-06-08 à 20:56

Non, je crois que je dis une bêtise en fait.On n'est pas sûr des w en lesquels Yn va valoir 1 ou -1 lorsque n tend vers l'infini...

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