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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
convergence intégrale impropre
Posté par wuksey
Bonjour,
En utilisant une intégration par parties, je dois montrer que :
(0,+
) eit² converge.
J'ai d'abord choisi u = t, v = eit²
puis d'autres tests qui ne m'amenaient nul part.
Merci pour votre aide.
Merci pour ta réponse.
Ensuite il faut poser (?)
u(t) = t-1 u'(t)= -t-2
v(t) = eit²/2i v'(t)= teit²
Et faire (0,+)eit² dt = [uv](0,+) - (0,+)u'(t)v(t)dt
Déjà il y aura un problème sur les bornes des intégrales en 0, mais je ne suis pas sûr de savoir comment y remédier. On peut étudier la limite en (1,+) ?
Ensuite, cette IPP ne me donne rien de concret, donc je ne suis pas sûr de m'y prendre correctement.
Alors oui, en 0 y a pas de souci, donc place toi sur .
Ensuite tu ne vois pas que l'intégrale que tu obtiens, c'est à dire est absolument convergente?
Désolé, je découvre ce chapitre.
1- Etudier sur [1,= suffit à démontrer la convergence sur [0,+[ ?
2-Non je ne vois pas en quoi elle converge absolument, j'ai pris connaissances des différents théorème qui peuvent aider à démontrer la convergence (théorèmes de comparaison) mais je ne parviens pas à les appliquer ici.
1- Oui. La fonction est continue sur [0,1].
2- Sais tu que t^{-2} est intégrable sur [1, infini[ et que si |f(t)| est majoré par une fonction intégrable, alors elle est intégrable?
Merci pour ta réponse,
Citation :
Sais tu que t^{-2} est intégrable
oui, ce sont les intégrales de Riemann.
Sais tu que t^{-2} est intégrable
Je peux donc dire que |e^(it²)|/|2it²| = |cos(t²) + isin(t²)|/|2it²|
2/2t² 1/t² qui est intégrable.
J'ai juste quelques questions :
-qu'advient-t-il de i ? je peux majorer sans en tenir compte ?
-
Citation :
La fonction est continue sur [0,1]
c'est quel résultat du cours ? je ne le trouve pas. Continuité de f sur [a,b] implique intégrabilité de f sur [a,b] ? La fonction est continue sur [0,1]
Ben le i tu en tiens compte, puisque tu le majores.
Une fonction continue sur un segment est bornée.
La question qui suit :
En déduire que la fonction h : t -> (0,t) eit² est bornée..
Je ne sais pas comment utiliser le résultat précédent..
|h(t)| = |(0,t) eit²| (0,t) |eit²|
Ca se démontre ?
Je peux supposer par l'absurde que g(x) = (0,x)|eit²|dt converge mais que 
M
, 
a [0,+[ tel que
(0,a)|eit²|dt >M
Bon par contre la suite je vois pas trop..
Ben tu peux utiliser qu'une fonction continue qui a une limite en l'infini est bornée.
Et que vaut à ton avis? D'ailleurs que vaut
à ton avis?
Bonne question,
Honnêtement à part utiliser la formule d'euler et dire que c'est égal à |cos(x²) + i sin (x²)| (mais finalement ça me sert à quelque chose? ), je suis pas très inspiré ...
mokassin @ 06-04-2020 à 15:28
Ben c'est un peu la définition d'etre intégrable...
Ben c'est un peu la définition d'etre intégrable...
D'ailleurs une precision t->exp(it^2) n'est pas intégrable, mais son intégrale est bien convergente.
wuksey @ 06-04-2020 à 17:28
Mais du coup,(0,+) |e^(it²)|dt = (0,+)1dt = +, donc ça m'aide pas vraiment borner ma fonction ça 
Mais du coup,
(0,+) |e^(it²)|dt = (0,+)1dt = +, donc ça m'aide pas vraiment borner ma fonction ça Ben... oui, utiliser l'ingéalité de la moyenne ne t'est d'aucune aide ici.
Mais on s'en fout puisqu'on sait que [tex\int_0\infty e^{it^2}dt [/tex] converge.
Citation :
D'ailleurs une precision t->exp(it^2) n'est pas intégrable, mais son intégrale est bien convergente
D'ailleurs une precision t->exp(it^2) n'est pas intégrable, mais son intégrale est bien convergente
Elle est bien intégrable sur [0,1] tout de même ?
Citation :
une fonction continue qui a une limite en l'infini est bornée
une fonction continue qui a une limite en l'infini est bornée
Ok, donc on utilise ceci pour conclure. Je n'arrive pas à trouver de théorèmes sur le net qui disent ceci... parce que ça m'intéresserait de voir la démo.
Oui sur [0,1] pas de problème.
C'est tres facile à prouver, prend une fonction continue , telle que f ait une limite finie en l'infini, disons b, alors il existe un M, tel que sur [M, infini[, f soit compris entre b +1 et b-1, et comme f est continue sur [a,M], elle y est borné par un certain C, et donc elle est bornée par max(C, 1+|b|).
Si on utilise la définition de la limite en l'infini, on a :
g tend vers l en l'infini :
>0, A[0,+[, x
A, l-f(x)l+
donc f(x) est bornée sur [A,+[
Et ensuite il faut traiter le cas où x[0,A[...